Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14796 / 9917
↖ ↑ ↗
← N 57.721752°
W 17.446289°		 ← 652.39 m → N 57.721752°
W 17.435303°		 →
↑
652.39 m
↓
↑
652.39 m
↓
N 57.715885°
W 17.446289°		 ← 652.50 m →
425 650 m²		 N 57.715885°
W 17.435303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451553344726562 y=0.302658081054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451553344726562 × 215)
    floor (0.451553344726562 × 32768)
    floor (14796.5)     		tx = 14796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302658081054688 × 215)
    floor (0.302658081054688 × 32768)
    floor (9917.5)     		ty = 9917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14796 / 9917 ti = "15/14796/9917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14796/9917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14796 ÷ 215
    14796 ÷ 32768     		x = 0.4515380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9917 ÷ 215
    9917 ÷ 32768     		y = 0.302642822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4515380859375 × 2 - 1) × π
    -0.096923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30449519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302642822265625 × 2 - 1) × π
    0.39471435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.24003171937161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30449519} λ = -0.30449519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24003171937161))-π/2
    2×atan(3.45572307638871)-π/2
    2×1.28911548024874-π/2
    2.57823096049748-1.57079632675     		φ = 1.00743463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30449519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.446289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00743463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.721752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14796 KachelY 9917 -0.30449519 1.00743463 -17.446289 57.721752
    Oben rechts KachelX + 1 14797 KachelY 9917 -0.30430344 1.00743463 -17.435303 57.721752
    Unten links KachelX 14796 KachelY + 1 9918 -0.30449519 1.00733223 -17.446289 57.715885
    Unten rechts KachelX + 1 14797 KachelY + 1 9918 -0.30430344 1.00733223 -17.435303 57.715885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00743463-1.00733223) × R
    0.000102400000000058 × 6371000     		dl = 652.390400000369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00743463-1.00733223) × R
    0.000102400000000058 × 6371000     		dr = 652.390400000369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30449519--0.30430344) × cos(1.00743463) × R
    0.000191750000000046 × 0.534031405881222 × 6371000     		do = 652.393726157338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30449519--0.30430344) × cos(1.00733223) × R
    0.000191750000000046 × 0.534117978660346 × 6371000     		du = 652.499486862298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00743463)-sin(1.00733223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534031405881222-0.534117978660346)×R²
    abs(-0.30430344--0.30449519)×8.65727791247162e-05×R²
    0.000191750000000046×8.65727791247162e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.65727791247162e-05×40589641000000     		ar = 425649.90297182m²