Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14796 / 9725
↖ ↑ ↗
← N 58.830804°
W 17.446289°		 ← 632.28 m → N 58.830804°
W 17.435303°		 →
↑
632.32 m
↓
↑
632.32 m
↓
N 58.825118°
W 17.446289°		 ← 632.38 m →
399 837 m²		 N 58.825118°
W 17.435303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451553344726562 y=0.296798706054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451553344726562 × 215)
    floor (0.451553344726562 × 32768)
    floor (14796.5)     		tx = 14796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296798706054688 × 215)
    floor (0.296798706054688 × 32768)
    floor (9725.5)     		ty = 9725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14796 / 9725 ti = "15/14796/9725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14796/9725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14796 ÷ 215
    14796 ÷ 32768     		x = 0.4515380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9725 ÷ 215
    9725 ÷ 32768     		y = 0.296783447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4515380859375 × 2 - 1) × π
    -0.096923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30449519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296783447265625 × 2 - 1) × π
    0.40643310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27684725827982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30449519} λ = -0.30449519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27684725827982))-π/2
    2×atan(3.58531830558826)-π/2
    2×1.29879378256623-π/2
    2.59758756513246-1.57079632675     		φ = 1.02679124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30449519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.446289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02679124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.830804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14796 KachelY 9725 -0.30449519 1.02679124 -17.446289 58.830804
    Oben rechts KachelX + 1 14797 KachelY 9725 -0.30430344 1.02679124 -17.435303 58.830804
    Unten links KachelX 14796 KachelY + 1 9726 -0.30449519 1.02669199 -17.446289 58.825118
    Unten rechts KachelX + 1 14797 KachelY + 1 9726 -0.30430344 1.02669199 -17.435303 58.825118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02679124-1.02669199) × R
    9.92500000001062e-05 × 6371000     		dl = 632.321750000677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02679124-1.02669199) × R
    9.92500000001062e-05 × 6371000     		dr = 632.321750000677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30449519--0.30430344) × cos(1.02679124) × R
    0.000191750000000046 × 0.517567056632588 × 6371000     		do = 632.280230889494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30449519--0.30430344) × cos(1.02669199) × R
    0.000191750000000046 × 0.517651976616146 × 6371000     		du = 632.383972474518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02679124)-sin(1.02669199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517567056632588-0.517651976616146)×R²
    abs(-0.30430344--0.30449519)×8.4919983558529e-05×R²
    0.000191750000000046×8.4919983558529e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.4919983558529e-05×40589641000000     		ar = 399837.341445709m²