Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14795 / 14987
↖ ↑ ↗
← S 81.553847°
E145.085449°		 ← 358.86 m → S 81.553847°
E145.107422°		 →
↑
358.81 m
↓
↑
358.81 m
↓
S 81.557073°
E145.085449°		 ← 358.72 m →
128 739 m²		 S 81.557073°
E145.107422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.903045654296875 y=0.914764404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.903045654296875 × 214)
    floor (0.903045654296875 × 16384)
    floor (14795.5)     		tx = 14795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914764404296875 × 214)
    floor (0.914764404296875 × 16384)
    floor (14987.5)     		ty = 14987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14795 / 14987 ti = "14/14795/14987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14795/14987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14795 ÷ 214
    14795 ÷ 16384     		x = 0.90301513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14987 ÷ 214
    14987 ÷ 16384     		y = 0.91473388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90301513671875 × 2 - 1) × π
    0.8060302734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.53221879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91473388671875 × 2 - 1) × π
    -0.8294677734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.60584986334625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53221879} λ = 2.53221879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60584986334625))-π/2
    2×atan(0.0738403563114444)-π/2
    2×0.0737065913011355-π/2
    0.147413182602271-1.57079632675     		φ = -1.42338314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53221879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.085449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42338314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.553847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14795 KachelY 14987 2.53221879 -1.42338314 145.085449 -81.553847
    Oben rechts KachelX + 1 14796 KachelY 14987 2.53260228 -1.42338314 145.107422 -81.553847
    Unten links KachelX 14795 KachelY + 1 14988 2.53221879 -1.42343946 145.085449 -81.557073
    Unten rechts KachelX + 1 14796 KachelY + 1 14988 2.53260228 -1.42343946 145.107422 -81.557073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42338314--1.42343946) × R
    5.63199999998876e-05 × 6371000     		dl = 358.814719999284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42338314--1.42343946) × R
    5.63199999998876e-05 × 6371000     		dr = 358.814719999284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53221879-2.53260228) × cos(-1.42338314) × R
    0.000383489999999931 × 0.146879869254945 × 6371000     		do = 358.859068916884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53221879-2.53260228) × cos(-1.42343946) × R
    0.000383489999999931 × 0.146824159849722 × 6371000     		du = 358.722958874101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42338314)-sin(-1.42343946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146879869254945-0.146824159849722)×R²
    abs(2.53260228-2.53221879)×5.570940522312e-05×R²
    0.000383489999999931×5.570940522312e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.570940522312e-05×40589641000000     		ar = 128739.497222645m²