Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14794 / 9714
↖ ↑ ↗
← N 58.893296°
W 17.468262°		 ← 631.14 m → N 58.893296°
W 17.457275°		 →
↑
631.17 m
↓
↑
631.17 m
↓
N 58.887620°
W 17.468262°		 ← 631.24 m →
398 392 m²		 N 58.887620°
W 17.457275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451492309570312 y=0.296463012695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451492309570312 × 215)
    floor (0.451492309570312 × 32768)
    floor (14794.5)     		tx = 14794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296463012695312 × 215)
    floor (0.296463012695312 × 32768)
    floor (9714.5)     		ty = 9714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14794 / 9714 ti = "15/14794/9714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14794/9714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14794 ÷ 215
    14794 ÷ 32768     		x = 0.45147705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9714 ÷ 215
    9714 ÷ 32768     		y = 0.29644775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45147705078125 × 2 - 1) × π
    -0.0970458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30487868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29644775390625 × 2 - 1) × π
    0.4071044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2789564818631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30487868} λ = -0.30487868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2789564818631))-π/2
    2×atan(3.5928885243474)-π/2
    2×1.29933912253346-π/2
    2.59867824506691-1.57079632675     		φ = 1.02788192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30487868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.468262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02788192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.893296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14794 KachelY 9714 -0.30487868 1.02788192 -17.468262 58.893296
    Oben rechts KachelX + 1 14795 KachelY 9714 -0.30468693 1.02788192 -17.457275 58.893296
    Unten links KachelX 14794 KachelY + 1 9715 -0.30487868 1.02778285 -17.468262 58.887620
    Unten rechts KachelX + 1 14795 KachelY + 1 9715 -0.30468693 1.02778285 -17.457275 58.887620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02788192-1.02778285) × R
    9.90700000000899e-05 × 6371000     		dl = 631.174970000573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02788192-1.02778285) × R
    9.90700000000899e-05 × 6371000     		dr = 631.174970000573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30487868--0.30468693) × cos(1.02788192) × R
    0.000191749999999991 × 0.516633516649356 × 6371000     		do = 631.13978180435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30487868--0.30468693) × cos(1.02778285) × R
    0.000191749999999991 × 0.516718338505645 × 6371000     		du = 631.243403513252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02788192)-sin(1.02778285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516633516649356-0.516718338505645)×R²
    abs(-0.30468693--0.30487868)×8.4821856289663e-05×R²
    0.000191749999999991×8.4821856289663e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.4821856289663e-05×40589641000000     		ar = 398392.334887181m²