Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14794 / 14986
↖ ↑ ↗
← S 81.550619°
E145.063477°		 ← 359 m → S 81.550619°
E145.085449°		 →
↑
358.88 m
↓
↑
358.88 m
↓
S 81.553847°
E145.063477°		 ← 358.87 m →
128 815 m²		 S 81.553847°
E145.085449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.902984619140625 y=0.914703369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.902984619140625 × 214)
    floor (0.902984619140625 × 16384)
    floor (14794.5)     		tx = 14794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914703369140625 × 214)
    floor (0.914703369140625 × 16384)
    floor (14986.5)     		ty = 14986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14794 / 14986 ti = "14/14794/14986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14794/14986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14794 ÷ 214
    14794 ÷ 16384     		x = 0.9029541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14986 ÷ 214
    14986 ÷ 16384     		y = 0.9146728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9029541015625 × 2 - 1) × π
    0.805908203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.53183529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9146728515625 × 2 - 1) × π
    -0.829345703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60546636814929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53183529} λ = 2.53183529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60546636814929))-π/2
    2×atan(0.0738686791639235)-π/2
    2×0.073734760504978-π/2
    0.147469521009956-1.57079632675     		φ = -1.42332681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53183529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.063477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42332681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.550619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14794 KachelY 14986 2.53183529 -1.42332681 145.063477 -81.550619
    Oben rechts KachelX + 1 14795 KachelY 14986 2.53221879 -1.42332681 145.085449 -81.550619
    Unten links KachelX 14794 KachelY + 1 14987 2.53183529 -1.42338314 145.063477 -81.553847
    Unten rechts KachelX + 1 14795 KachelY + 1 14987 2.53221879 -1.42338314 145.085449 -81.553847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42332681--1.42338314) × R
    5.63300000000488e-05 × 6371000     		dl = 358.878430000311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42332681--1.42338314) × R
    5.63300000000488e-05 × 6371000     		dr = 358.878430000311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53183529-2.53221879) × cos(-1.42332681) × R
    0.00038349999999987 × 0.146935588085735 × 6371000     		do = 359.00456325461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53183529-2.53221879) × cos(-1.42338314) × R
    0.00038349999999987 × 0.146879869254945 × 6371000     		du = 358.868426633297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42332681)-sin(-1.42338314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146935588085735-0.146879869254945)×R²
    abs(2.53221879-2.53183529)×5.57188307894474e-05×R²
    0.00038349999999987×5.57188307894474e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.57188307894474e-05×40589641000000     		ar = 128814.565810246m²