Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14793 / 21461
↖ ↑ ↗
← S 48.611122°
W 17.479248°		 ← 807.71 m → S 48.611122°
W 17.468262°		 →
↑
807.65 m
↓
↑
807.65 m
↓
S 48.618385°
W 17.479248°		 ← 807.59 m →
652 299 m²		 S 48.618385°
W 17.468262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451461791992188 y=0.654953002929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451461791992188 × 215)
    floor (0.451461791992188 × 32768)
    floor (14793.5)     		tx = 14793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654953002929688 × 215)
    floor (0.654953002929688 × 32768)
    floor (21461.5)     		ty = 21461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14793 / 21461 ti = "15/14793/21461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14793/21461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14793 ÷ 215
    14793 ÷ 32768     		x = 0.451446533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21461 ÷ 215
    21461 ÷ 32768     		y = 0.654937744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451446533203125 × 2 - 1) × π
    -0.09710693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30507043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654937744140625 × 2 - 1) × π
    -0.30987548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.9735025574841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30507043} λ = -0.30507043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.9735025574841))-π/2
    2×atan(0.377757600536857)-π/2
    2×0.361186098110185-π/2
    0.722372196220369-1.57079632675     		φ = -0.84842413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30507043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.479248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84842413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.611122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14793 KachelY 21461 -0.30507043 -0.84842413 -17.479248 -48.611122
    Oben rechts KachelX + 1 14794 KachelY 21461 -0.30487868 -0.84842413 -17.468262 -48.611122
    Unten links KachelX 14793 KachelY + 1 21462 -0.30507043 -0.84855090 -17.479248 -48.618385
    Unten rechts KachelX + 1 14794 KachelY + 1 21462 -0.30487868 -0.84855090 -17.468262 -48.618385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84842413--0.84855090) × R
    0.000126769999999943 × 6371000     		dl = 807.651669999635m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84842413--0.84855090) × R
    0.000126769999999943 × 6371000     		dr = 807.651669999635m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30507043--0.30487868) × cos(-0.84842413) × R
    0.000191749999999991 × 0.661166246157245 × 6371000     		do = 807.706637080812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30507043--0.30487868) × cos(-0.84855090) × R
    0.000191749999999991 × 0.661071132992903 × 6371000     		du = 807.59044310606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84842413)-sin(-0.84855090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661166246157245-0.661071132992903)×R²
    abs(-0.30487868--0.30507043)×9.51131643424086e-05×R²
    0.000191749999999991×9.51131643424086e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.51131643424086e-05×40589641000000     		ar = 652298.693052332m²