Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14791 / 21353
↖ ↑ ↗
← S 47.820532°
W 17.501220°		 ← 820.23 m → S 47.820532°
W 17.490235°		 →
↑
820.20 m
↓
↑
820.20 m
↓
S 47.827908°
W 17.501220°		 ← 820.12 m →
672 709 m²		 S 47.827908°
W 17.490235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451400756835938 y=0.651657104492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451400756835938 × 215)
    floor (0.451400756835938 × 32768)
    floor (14791.5)     		tx = 14791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651657104492188 × 215)
    floor (0.651657104492188 × 32768)
    floor (21353.5)     		ty = 21353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14791 / 21353 ti = "15/14791/21353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14791/21353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14791 ÷ 215
    14791 ÷ 32768     		x = 0.451385498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21353 ÷ 215
    21353 ÷ 32768     		y = 0.651641845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451385498046875 × 2 - 1) × π
    -0.09722900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30545392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651641845703125 × 2 - 1) × π
    -0.30328369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.952793816848236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30545392} λ = -0.30545392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952793816848236))-π/2
    2×atan(0.385662047799273)-π/2
    2×0.368085297835562-π/2
    0.736170595671124-1.57079632675     		φ = -0.83462573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30545392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.501220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83462573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.820532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14791 KachelY 21353 -0.30545392 -0.83462573 -17.501220 -47.820532
    Oben rechts KachelX + 1 14792 KachelY 21353 -0.30526218 -0.83462573 -17.490235 -47.820532
    Unten links KachelX 14791 KachelY + 1 21354 -0.30545392 -0.83475447 -17.501220 -47.827908
    Unten rechts KachelX + 1 14792 KachelY + 1 21354 -0.30526218 -0.83475447 -17.490235 -47.827908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83462573--0.83475447) × R
    0.000128740000000072 × 6371000     		dl = 820.202540000456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83462573--0.83475447) × R
    0.000128740000000072 × 6371000     		dr = 820.202540000456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30545392--0.30526218) × cos(-0.83462573) × R
    0.000191739999999996 × 0.671455080690185 × 6371000     		do = 820.233102779838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30545392--0.30526218) × cos(-0.83475447) × R
    0.000191739999999996 × 0.671359672959571 × 6371000     		du = 820.116555029794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83462573)-sin(-0.83475447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671455080690185-0.671359672959571)×R²
    abs(-0.30526218--0.30545392)×9.54077306137835e-05×R²
    0.000191739999999996×9.54077306137835e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.54077306137835e-05×40589641000000     		ar = 672709.478841549m²