Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14790 / 9907
↖ ↑ ↗
← N 57.780376°
W 17.512207°		 ← 651.34 m → N 57.780376°
W 17.501220°		 →
↑
651.43 m
↓
↑
651.43 m
↓
N 57.774517°
W 17.512207°		 ← 651.44 m →
424 338 m²		 N 57.774517°
W 17.501220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451370239257812 y=0.302352905273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451370239257812 × 215)
    floor (0.451370239257812 × 32768)
    floor (14790.5)     		tx = 14790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302352905273438 × 215)
    floor (0.302352905273438 × 32768)
    floor (9907.5)     		ty = 9907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14790 / 9907 ti = "15/14790/9907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14790/9907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14790 ÷ 215
    14790 ÷ 32768     		x = 0.45135498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9907 ÷ 215
    9907 ÷ 32768     		y = 0.302337646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45135498046875 × 2 - 1) × π
    -0.0972900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30564567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302337646484375 × 2 - 1) × π
    0.39532470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24194919535641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30564567} λ = -0.30564567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24194919535641))-π/2
    2×atan(3.46235569931321)-π/2
    2×1.28962706156517-π/2
    2.57925412313034-1.57079632675     		φ = 1.00845780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30564567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.512207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00845780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.780376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14790 KachelY 9907 -0.30564567 1.00845780 -17.512207 57.780376
    Oben rechts KachelX + 1 14791 KachelY 9907 -0.30545392 1.00845780 -17.501220 57.780376
    Unten links KachelX 14790 KachelY + 1 9908 -0.30564567 1.00835555 -17.512207 57.774517
    Unten rechts KachelX + 1 14791 KachelY + 1 9908 -0.30545392 1.00835555 -17.501220 57.774517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00845780-1.00835555) × R
    0.000102249999999859 × 6371000     		dl = 651.434749999104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00845780-1.00835555) × R
    0.000102249999999859 × 6371000     		dr = 651.434749999104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30564567--0.30545392) × cos(1.00845780) × R
    0.000191749999999991 × 0.533166072443888 × 6371000     		do = 651.336600865765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30564567--0.30545392) × cos(1.00835555) × R
    0.000191749999999991 × 0.53325257424068 × 6371000     		du = 651.442274855921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00845780)-sin(1.00835555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533166072443888-0.53325257424068)×R²
    abs(-0.30545392--0.30564567)×8.65017967914827e-05×R²
    0.000191749999999991×8.65017967914827e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.65017967914827e-05×40589641000000     		ar = 424337.715973991m²