Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14790 / 9655
↖ ↑ ↗
← N 59.226556°
W 17.512207°		 ← 625.05 m → N 59.226556°
W 17.501220°		 →
↑
625.06 m
↓
↑
625.06 m
↓
N 59.220934°
W 17.512207°		 ← 625.15 m →
390 722 m²		 N 59.220934°
W 17.501220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451370239257812 y=0.294662475585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451370239257812 × 215)
    floor (0.451370239257812 × 32768)
    floor (14790.5)     		tx = 14790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294662475585938 × 215)
    floor (0.294662475585938 × 32768)
    floor (9655.5)     		ty = 9655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14790 / 9655 ti = "15/14790/9655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14790/9655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14790 ÷ 215
    14790 ÷ 32768     		x = 0.45135498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9655 ÷ 215
    9655 ÷ 32768     		y = 0.294647216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45135498046875 × 2 - 1) × π
    -0.0972900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30564567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294647216796875 × 2 - 1) × π
    0.41070556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.29026959017343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30564567} λ = -0.30564567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29026959017343))-π/2
    2×atan(3.63376605133567)-π/2
    2×1.30224736361747-π/2
    2.60449472723493-1.57079632675     		φ = 1.03369840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30564567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.512207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03369840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.226556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14790 KachelY 9655 -0.30564567 1.03369840 -17.512207 59.226556
    Oben rechts KachelX + 1 14791 KachelY 9655 -0.30545392 1.03369840 -17.501220 59.226556
    Unten links KachelX 14790 KachelY + 1 9656 -0.30564567 1.03360029 -17.512207 59.220934
    Unten rechts KachelX + 1 14791 KachelY + 1 9656 -0.30545392 1.03360029 -17.501220 59.220934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03369840-1.03360029) × R
    9.81099999999291e-05 × 6371000     		dl = 625.058809999548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03369840-1.03360029) × R
    9.81099999999291e-05 × 6371000     		dr = 625.058809999548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30564567--0.30545392) × cos(1.03369840) × R
    0.000191749999999991 × 0.511644696732499 × 6371000     		do = 625.045243582737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30564567--0.30545392) × cos(1.03360029) × R
    0.000191749999999991 × 0.511728990100129 × 6371000     		du = 625.148219669149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03369840)-sin(1.03360029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511644696732499-0.511728990100129)×R²
    abs(-0.30545392--0.30564567)×8.42933676302726e-05×R²
    0.000191749999999991×8.42933676302726e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.42933676302726e-05×40589641000000     		ar = 390722.219518085m²