Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14790 / 21362
↖ ↑ ↗
← S 47.886881°
W 17.512207°		 ← 819.23 m → S 47.886881°
W 17.501220°		 →
↑
819.18 m
↓
↑
819.18 m
↓
S 47.894248°
W 17.512207°		 ← 819.11 m →
671 049 m²		 S 47.894248°
W 17.501220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451370239257812 y=0.651931762695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451370239257812 × 215)
    floor (0.451370239257812 × 32768)
    floor (14790.5)     		tx = 14790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651931762695312 × 215)
    floor (0.651931762695312 × 32768)
    floor (21362.5)     		ty = 21362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14790 / 21362 ti = "15/14790/21362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14790/21362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14790 ÷ 215
    14790 ÷ 32768     		x = 0.45135498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21362 ÷ 215
    21362 ÷ 32768     		y = 0.65191650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45135498046875 × 2 - 1) × π
    -0.0972900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30564567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65191650390625 × 2 - 1) × π
    -0.3038330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.954519545234558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30564567} λ = -0.30564567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.954519545234558))-π/2
    2×atan(0.384997073803141)-π/2
    2×0.367506293725907-π/2
    0.735012587451814-1.57079632675     		φ = -0.83578374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30564567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.512207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83578374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.886881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14790 KachelY 21362 -0.30564567 -0.83578374 -17.512207 -47.886881
    Oben rechts KachelX + 1 14791 KachelY 21362 -0.30545392 -0.83578374 -17.501220 -47.886881
    Unten links KachelX 14790 KachelY + 1 21363 -0.30564567 -0.83591232 -17.512207 -47.894248
    Unten rechts KachelX + 1 14791 KachelY + 1 21363 -0.30545392 -0.83591232 -17.501220 -47.894248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83578374--0.83591232) × R
    0.000128580000000045 × 6371000     		dl = 819.183180000285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83578374--0.83591232) × R
    0.000128580000000045 × 6371000     		dr = 819.183180000285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30564567--0.30545392) × cos(-0.83578374) × R
    0.000191749999999991 × 0.670596492856325 × 6371000     		do = 819.226996585591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30564567--0.30545392) × cos(-0.83591232) × R
    0.000191749999999991 × 0.670501103800183 × 6371000     		du = 819.110465570588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83578374)-sin(-0.83591232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670596492856325-0.670501103800183)×R²
    abs(-0.30545392--0.30564567)×9.53890561414816e-05×R²
    0.000191749999999991×9.53890561414816e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.53890561414816e-05×40589641000000     		ar = 671049.247005578m²