Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14790 / 21354
↖ ↑ ↗
← S 47.827908°
W 17.512207°		 ← 820.16 m → S 47.827908°
W 17.501220°		 →
↑
820.08 m
↓
↑
820.08 m
↓
S 47.835283°
W 17.512207°		 ← 820.04 m →
672 544 m²		 S 47.835283°
W 17.501220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451370239257812 y=0.651687622070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451370239257812 × 215)
    floor (0.451370239257812 × 32768)
    floor (14790.5)     		tx = 14790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651687622070312 × 215)
    floor (0.651687622070312 × 32768)
    floor (21354.5)     		ty = 21354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14790 / 21354 ti = "15/14790/21354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14790/21354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14790 ÷ 215
    14790 ÷ 32768     		x = 0.45135498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21354 ÷ 215
    21354 ÷ 32768     		y = 0.65167236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45135498046875 × 2 - 1) × π
    -0.0972900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30564567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65167236328125 × 2 - 1) × π
    -0.3033447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.952985564446716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30564567} λ = -0.30564567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952985564446716))-π/2
    2×atan(0.385588105117175)-π/2
    2×0.368020927459634-π/2
    0.736041854919267-1.57079632675     		φ = -0.83475447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30564567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.512207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83475447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.827908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14790 KachelY 21354 -0.30564567 -0.83475447 -17.512207 -47.827908
    Oben rechts KachelX + 1 14791 KachelY 21354 -0.30545392 -0.83475447 -17.501220 -47.827908
    Unten links KachelX 14790 KachelY + 1 21355 -0.30564567 -0.83488319 -17.512207 -47.835283
    Unten rechts KachelX + 1 14791 KachelY + 1 21355 -0.30545392 -0.83488319 -17.501220 -47.835283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83475447--0.83488319) × R
    0.000128719999999971 × 6371000     		dl = 820.075119999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83475447--0.83488319) × R
    0.000128719999999971 × 6371000     		dr = 820.075119999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30564567--0.30545392) × cos(-0.83475447) × R
    0.000191749999999991 × 0.671359672959571 × 6371000     		do = 820.159327354535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30564567--0.30545392) × cos(-0.83488319) × R
    0.000191749999999991 × 0.671264268926213 × 6371000     		du = 820.042778042776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83475447)-sin(-0.83488319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671359672959571-0.671264268926213)×R²
    abs(-0.30545392--0.30564567)×9.54040333583928e-05×R²
    0.000191749999999991×9.54040333583928e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.54040333583928e-05×40589641000000     		ar = 672544.470132171m²