Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14789 / 9910
↖ ↑ ↗
← N 57.762799°
W 17.523193°		 ← 651.65 m → N 57.762799°
W 17.512207°		 →
↑
651.69 m
↓
↑
651.69 m
↓
N 57.756938°
W 17.523193°		 ← 651.76 m →
424 710 m²		 N 57.756938°
W 17.512207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451339721679688 y=0.302444458007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451339721679688 × 215)
    floor (0.451339721679688 × 32768)
    floor (14789.5)     		tx = 14789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302444458007812 × 215)
    floor (0.302444458007812 × 32768)
    floor (9910.5)     		ty = 9910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14789 / 9910 ti = "15/14789/9910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14789/9910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14789 ÷ 215
    14789 ÷ 32768     		x = 0.451324462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9910 ÷ 215
    9910 ÷ 32768     		y = 0.30242919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451324462890625 × 2 - 1) × π
    -0.09735107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30583742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30242919921875 × 2 - 1) × π
    0.3951416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24137395256097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30583742} λ = -0.30583742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24137395256097))-π/2
    2×atan(3.46036457688625)-π/2
    2×1.28947367427489-π/2
    2.57894734854979-1.57079632675     		φ = 1.00815102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30583742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.523193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00815102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.762799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14789 KachelY 9910 -0.30583742 1.00815102 -17.523193 57.762799
    Oben rechts KachelX + 1 14790 KachelY 9910 -0.30564567 1.00815102 -17.512207 57.762799
    Unten links KachelX 14789 KachelY + 1 9911 -0.30583742 1.00804873 -17.523193 57.756938
    Unten rechts KachelX + 1 14790 KachelY + 1 9911 -0.30564567 1.00804873 -17.512207 57.756938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00815102-1.00804873) × R
    0.000102289999999838 × 6371000     		dl = 651.68958999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00815102-1.00804873) × R
    0.000102289999999838 × 6371000     		dr = 651.68958999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30583742--0.30564567) × cos(1.00815102) × R
    0.000191750000000046 × 0.533425586483202 × 6371000     		do = 651.653633402305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30583742--0.30564567) × cos(1.00804873) × R
    0.000191750000000046 × 0.533512105381775 × 6371000     		du = 651.759328284669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00815102)-sin(1.00804873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533425586483202-0.533512105381775)×R²
    abs(-0.30564567--0.30583742)×8.65188985728071e-05×R²
    0.000191750000000046×8.65188985728071e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.65188985728071e-05×40589641000000     		ar = 424710.329670528m²