Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14789 / 21360
↖ ↑ ↗
← S 47.872144°
W 17.523193°		 ← 819.46 m → S 47.872144°
W 17.512207°		 →
↑
819.37 m
↓
↑
819.37 m
↓
S 47.879513°
W 17.523193°		 ← 819.34 m →
671 397 m²		 S 47.879513°
W 17.512207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451339721679688 y=0.651870727539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451339721679688 × 215)
    floor (0.451339721679688 × 32768)
    floor (14789.5)     		tx = 14789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651870727539062 × 215)
    floor (0.651870727539062 × 32768)
    floor (21360.5)     		ty = 21360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14789 / 21360 ti = "15/14789/21360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14789/21360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14789 ÷ 215
    14789 ÷ 32768     		x = 0.451324462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21360 ÷ 215
    21360 ÷ 32768     		y = 0.65185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451324462890625 × 2 - 1) × π
    -0.09735107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30583742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65185546875 × 2 - 1) × π
    -0.3037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.954136050037598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30583742} λ = -0.30583742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.954136050037598))-π/2
    2×atan(0.385144746645892)-π/2
    2×0.36763489728368-π/2
    0.73526979456736-1.57079632675     		φ = -0.83552653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30583742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.523193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83552653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.872144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14789 KachelY 21360 -0.30583742 -0.83552653 -17.523193 -47.872144
    Oben rechts KachelX + 1 14790 KachelY 21360 -0.30564567 -0.83552653 -17.512207 -47.872144
    Unten links KachelX 14789 KachelY + 1 21361 -0.30583742 -0.83565514 -17.523193 -47.879513
    Unten rechts KachelX + 1 14790 KachelY + 1 21361 -0.30564567 -0.83565514 -17.512207 -47.879513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83552653--0.83565514) × R
    0.000128609999999973 × 6371000     		dl = 819.374309999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83552653--0.83565514) × R
    0.000128609999999973 × 6371000     		dr = 819.374309999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30583742--0.30564567) × cos(-0.83552653) × R
    0.000191750000000046 × 0.670787274788976 × 6371000     		do = 819.460063282945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30583742--0.30564567) × cos(-0.83565514) × R
    0.000191750000000046 × 0.670691885660339 × 6371000     		du = 819.343532179379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83552653)-sin(-0.83565514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670787274788976-0.670691885660339)×R²
    abs(-0.30564567--0.30583742)×9.53891286367137e-05×R²
    0.000191750000000046×9.53891286367137e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.53891286367137e-05×40589641000000     		ar = 671396.78355355m²