Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14788 / 8393
↖ ↑ ↗
← N 65.617487°
W 17.534180°		 ← 504.33 m → N 65.617487°
W 17.523193°		 →
↑
504.33 m
↓
↑
504.33 m
↓
N 65.612952°
W 17.534180°		 ← 504.41 m →
254 368 m²		 N 65.612952°
W 17.523193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451309204101562 y=0.256149291992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451309204101562 × 215)
    floor (0.451309204101562 × 32768)
    floor (14788.5)     		tx = 14788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256149291992188 × 215)
    floor (0.256149291992188 × 32768)
    floor (8393.5)     		ty = 8393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14788 / 8393 ti = "15/14788/8393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14788/8393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14788 ÷ 215
    14788 ÷ 32768     		x = 0.4512939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8393 ÷ 215
    8393 ÷ 32768     		y = 0.256134033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4512939453125 × 2 - 1) × π
    -0.097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30602917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256134033203125 × 2 - 1) × π
    0.48773193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.53225505945547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30602917} λ = -0.30602917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53225505945547))-π/2
    2×atan(4.62860283683301)-π/2
    2×1.35801876582957-π/2
    2.71603753165914-1.57079632675     		φ = 1.14524120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30602917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.534180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14524120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.617487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14788 KachelY 8393 -0.30602917 1.14524120 -17.534180 65.617487
    Oben rechts KachelX + 1 14789 KachelY 8393 -0.30583742 1.14524120 -17.523193 65.617487
    Unten links KachelX 14788 KachelY + 1 8394 -0.30602917 1.14516204 -17.534180 65.612952
    Unten rechts KachelX + 1 14789 KachelY + 1 8394 -0.30583742 1.14516204 -17.523193 65.612952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14524120-1.14516204) × R
    7.91600000000781e-05 × 6371000     		dl = 504.328360000497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14524120-1.14516204) × R
    7.91600000000781e-05 × 6371000     		dr = 504.328360000497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30602917--0.30583742) × cos(1.14524120) × R
    0.000191749999999991 × 0.412826460197729 × 6371000     		do = 504.325007216084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30602917--0.30583742) × cos(1.14516204) × R
    0.000191749999999991 × 0.412898558600238 × 6371000     		du = 504.413085454451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14524120)-sin(1.14516204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412826460197729-0.412898558600238)×R²
    abs(-0.30583742--0.30602917)×7.20984025086024e-05×R²
    0.000191749999999991×7.20984025086024e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.20984025086024e-05×40589641000000     		ar = 254367.614105696m²