Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14787 / 8386
↖ ↑ ↗
← N 65.649217°
W 17.545166°		 ← 503.68 m → N 65.649217°
W 17.534180°		 →
↑
503.75 m
↓
↑
503.75 m
↓
N 65.644686°
W 17.545166°		 ← 503.77 m →
253 755 m²		 N 65.644686°
W 17.534180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451278686523438 y=0.255935668945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451278686523438 × 215)
    floor (0.451278686523438 × 32768)
    floor (14787.5)     		tx = 14787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255935668945312 × 215)
    floor (0.255935668945312 × 32768)
    floor (8386.5)     		ty = 8386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14787 / 8386 ti = "15/14787/8386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14787/8386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14787 ÷ 215
    14787 ÷ 32768     		x = 0.451263427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8386 ÷ 215
    8386 ÷ 32768     		y = 0.25592041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451263427734375 × 2 - 1) × π
    -0.09747314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30622091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25592041015625 × 2 - 1) × π
    0.4881591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.53359729264484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30622091} λ = -0.30622091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53359729264484))-π/2
    2×atan(4.6348196724692)-π/2
    2×1.35829565121728-π/2
    2.71659130243457-1.57079632675     		φ = 1.14579498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30622091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.545166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14579498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.649217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14787 KachelY 8386 -0.30622091 1.14579498 -17.545166 65.649217
    Oben rechts KachelX + 1 14788 KachelY 8386 -0.30602917 1.14579498 -17.534180 65.649217
    Unten links KachelX 14787 KachelY + 1 8387 -0.30622091 1.14571591 -17.545166 65.644686
    Unten rechts KachelX + 1 14788 KachelY + 1 8387 -0.30602917 1.14571591 -17.534180 65.644686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14579498-1.14571591) × R
    7.90699999999589e-05 × 6371000     		dl = 503.754969999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14579498-1.14571591) × R
    7.90699999999589e-05 × 6371000     		dr = 503.754969999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30622091--0.30602917) × cos(1.14579498) × R
    0.000191739999999996 × 0.412322008725367 × 6371000     		do = 503.682480462564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30622091--0.30602917) × cos(1.14571591) × R
    0.000191739999999996 × 0.412394043225066 × 6371000     		du = 503.770476045432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14579498)-sin(1.14571591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412322008725367-0.412394043225066)×R²
    abs(-0.30602917--0.30622091)×7.20344996990585e-05×R²
    0.000191739999999996×7.20344996990585e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.20344996990585e-05×40589641000000     		ar = 253754.717073177m²