Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14787 / 21444
↖ ↑ ↗
← S 48.487487°
W 17.545166°		 ← 809.64 m → S 48.487487°
W 17.534180°		 →
↑
809.56 m
↓
↑
809.56 m
↓
S 48.494767°
W 17.545166°		 ← 809.52 m →
655 408 m²		 S 48.494767°
W 17.534180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451278686523438 y=0.654434204101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451278686523438 × 215)
    floor (0.451278686523438 × 32768)
    floor (14787.5)     		tx = 14787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654434204101562 × 215)
    floor (0.654434204101562 × 32768)
    floor (21444.5)     		ty = 21444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14787 / 21444 ti = "15/14787/21444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14787/21444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14787 ÷ 215
    14787 ÷ 32768     		x = 0.451263427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21444 ÷ 215
    21444 ÷ 32768     		y = 0.6544189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451263427734375 × 2 - 1) × π
    -0.09747314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30622091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6544189453125 × 2 - 1) × π
    -0.308837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.970242848309937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30622091} λ = -0.30622091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.970242848309937))-π/2
    2×atan(0.378990989605633)-π/2
    2×0.362265020861532-π/2
    0.724530041723063-1.57079632675     		φ = -0.84626629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30622091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.545166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84626629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.487487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14787 KachelY 21444 -0.30622091 -0.84626629 -17.545166 -48.487487
    Oben rechts KachelX + 1 14788 KachelY 21444 -0.30602917 -0.84626629 -17.534180 -48.487487
    Unten links KachelX 14787 KachelY + 1 21445 -0.30622091 -0.84639336 -17.545166 -48.494767
    Unten rechts KachelX + 1 14788 KachelY + 1 21445 -0.30602917 -0.84639336 -17.534180 -48.494767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84626629--0.84639336) × R
    0.000127070000000007 × 6371000     		dl = 809.562970000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84626629--0.84639336) × R
    0.000127070000000007 × 6371000     		dr = 809.562970000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30622091--0.30602917) × cos(-0.84626629) × R
    0.000191739999999996 × 0.662783602257093 × 6371000     		do = 809.640236830335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30622091--0.30602917) × cos(-0.84639336) × R
    0.000191739999999996 × 0.662688445494121 × 6371000     		du = 809.523995656224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84626629)-sin(-0.84639336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662783602257093-0.662688445494121)×R²
    abs(-0.30602917--0.30622091)×9.51567629715599e-05×R²
    0.000191739999999996×9.51567629715599e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.51567629715599e-05×40589641000000     		ar = 655407.70336707m²