Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14786 / 8897
↖ ↑ ↗
← N 63.228679°
W 17.556152°		 ← 550.26 m → N 63.228679°
W 17.545166°		 →
↑
550.26 m
↓
↑
550.26 m
↓
N 63.223730°
W 17.556152°		 ← 550.36 m →
302 816 m²		 N 63.223730°
W 17.545166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451248168945312 y=0.271530151367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451248168945312 × 215)
    floor (0.451248168945312 × 32768)
    floor (14786.5)     		tx = 14786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271530151367188 × 215)
    floor (0.271530151367188 × 32768)
    floor (8897.5)     		ty = 8897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14786 / 8897 ti = "15/14786/8897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14786/8897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14786 ÷ 215
    14786 ÷ 32768     		x = 0.45123291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8897 ÷ 215
    8897 ÷ 32768     		y = 0.271514892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45123291015625 × 2 - 1) × π
    -0.0975341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30641266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271514892578125 × 2 - 1) × π
    0.45697021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.43561426982144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30641266} λ = -0.30641266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43561426982144))-π/2
    2×atan(4.20222551646044)-π/2
    2×1.33717248074398-π/2
    2.67434496148795-1.57079632675     		φ = 1.10354863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30641266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.556152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10354863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.228679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14786 KachelY 8897 -0.30641266 1.10354863 -17.556152 63.228679
    Oben rechts KachelX + 1 14787 KachelY 8897 -0.30622091 1.10354863 -17.545166 63.228679
    Unten links KachelX 14786 KachelY + 1 8898 -0.30641266 1.10346226 -17.556152 63.223730
    Unten rechts KachelX + 1 14787 KachelY + 1 8898 -0.30622091 1.10346226 -17.545166 63.223730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10354863-1.10346226) × R
    8.63700000000023e-05 × 6371000     		dl = 550.263270000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10354863-1.10346226) × R
    8.63700000000023e-05 × 6371000     		dr = 550.263270000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30641266--0.30622091) × cos(1.10354863) × R
    0.000191749999999991 × 0.450430706875093 × 6371000     		do = 550.263830923831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30641266--0.30622091) × cos(1.10346226) × R
    0.000191749999999991 × 0.450507817314704 × 6371000     		du = 550.358032063445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10354863)-sin(1.10346226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450430706875093-0.450507817314704)×R²
    abs(-0.30622091--0.30641266)×7.71104396113942e-05×R²
    0.000191749999999991×7.71104396113942e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.71104396113942e-05×40589641000000     		ar = 302815.892869139m²