Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14785 / 9672
↖ ↑ ↗
← N 59.130863°
W 17.567139°		 ← 626.80 m → N 59.130863°
W 17.556152°		 →
↑
626.84 m
↓
↑
626.84 m
↓
N 59.125226°
W 17.567139°		 ← 626.90 m →
392 936 m²		 N 59.125226°
W 17.556152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451217651367188 y=0.295181274414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451217651367188 × 215)
    floor (0.451217651367188 × 32768)
    floor (14785.5)     		tx = 14785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295181274414062 × 215)
    floor (0.295181274414062 × 32768)
    floor (9672.5)     		ty = 9672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14785 / 9672 ti = "15/14785/9672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14785/9672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14785 ÷ 215
    14785 ÷ 32768     		x = 0.451202392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9672 ÷ 215
    9672 ÷ 32768     		y = 0.295166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451202392578125 × 2 - 1) × π
    -0.09759521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30660441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295166015625 × 2 - 1) × π
    0.40966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.28700988099927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30660441} λ = -0.30660441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28700988099927))-π/2
    2×atan(3.62194031550256)-π/2
    2×1.30141228868458-π/2
    2.60282457736915-1.57079632675     		φ = 1.03202825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30660441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.567139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03202825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.130863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14785 KachelY 9672 -0.30660441 1.03202825 -17.567139 59.130863
    Oben rechts KachelX + 1 14786 KachelY 9672 -0.30641266 1.03202825 -17.556152 59.130863
    Unten links KachelX 14785 KachelY + 1 9673 -0.30660441 1.03192986 -17.567139 59.125226
    Unten rechts KachelX + 1 14786 KachelY + 1 9673 -0.30641266 1.03192986 -17.556152 59.125226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03202825-1.03192986) × R
    9.83900000000038e-05 × 6371000     		dl = 626.842690000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03202825-1.03192986) × R
    9.83900000000038e-05 × 6371000     		dr = 626.842690000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30660441--0.30641266) × cos(1.03202825) × R
    0.000191749999999991 × 0.513078970557303 × 6371000     		do = 626.797408782365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30660441--0.30641266) × cos(1.03192986) × R
    0.000191749999999991 × 0.51316342028469 × 6371000     		du = 626.900575883993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03202825)-sin(1.03192986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513078970557303-0.51316342028469)×R²
    abs(-0.30641266--0.30660441)×8.44497273870815e-05×R²
    0.000191749999999991×8.44497273870815e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.44497273870815e-05×40589641000000     		ar = 392935.708895119m²