Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14785 / 8874
↖ ↑ ↗
← N 63.342272°
W 17.567139°		 ← 548.10 m → N 63.342272°
W 17.556152°		 →
↑
548.10 m
↓
↑
548.10 m
↓
N 63.337343°
W 17.567139°		 ← 548.19 m →
300 438 m²		 N 63.337343°
W 17.556152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451217651367188 y=0.270828247070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451217651367188 × 215)
    floor (0.451217651367188 × 32768)
    floor (14785.5)     		tx = 14785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270828247070312 × 215)
    floor (0.270828247070312 × 32768)
    floor (8874.5)     		ty = 8874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14785 / 8874 ti = "15/14785/8874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14785/8874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14785 ÷ 215
    14785 ÷ 32768     		x = 0.451202392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8874 ÷ 215
    8874 ÷ 32768     		y = 0.27081298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451202392578125 × 2 - 1) × π
    -0.09759521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30660441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27081298828125 × 2 - 1) × π
    0.4583740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44002446458649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30660441} λ = -0.30660441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44002446458649))-π/2
    2×atan(4.22079907583749)-π/2
    2×1.33816377078698-π/2
    2.67632754157395-1.57079632675     		φ = 1.10553121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30660441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.567139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10553121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.342272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14785 KachelY 8874 -0.30660441 1.10553121 -17.567139 63.342272
    Oben rechts KachelX + 1 14786 KachelY 8874 -0.30641266 1.10553121 -17.556152 63.342272
    Unten links KachelX 14785 KachelY + 1 8875 -0.30660441 1.10544518 -17.567139 63.337343
    Unten rechts KachelX + 1 14786 KachelY + 1 8875 -0.30641266 1.10544518 -17.556152 63.337343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10553121-1.10544518) × R
    8.60300000000702e-05 × 6371000     		dl = 548.097130000447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10553121-1.10544518) × R
    8.60300000000702e-05 × 6371000     		dr = 548.097130000447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30660441--0.30641266) × cos(1.10553121) × R
    0.000191749999999991 × 0.448659752792414 × 6371000     		do = 548.100363906483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30660441--0.30641266) × cos(1.10544518) × R
    0.000191749999999991 × 0.448736636370978 × 6371000     		du = 548.194287903738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10553121)-sin(1.10544518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448659752792414-0.448736636370978)×R²
    abs(-0.30641266--0.30660441)×7.68835785642796e-05×R²
    0.000191749999999991×7.68835785642796e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.68835785642796e-05×40589641000000     		ar = 300437.976331075m²