Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14785 / 21418
↖ ↑ ↗
← S 48.297813°
W 17.567139°		 ← 812.71 m → S 48.297813°
W 17.556152°		 →
↑
812.62 m
↓
↑
812.62 m
↓
S 48.305121°
W 17.567139°		 ← 812.59 m →
660 375 m²		 S 48.305121°
W 17.556152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451217651367188 y=0.653640747070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451217651367188 × 215)
    floor (0.451217651367188 × 32768)
    floor (14785.5)     		tx = 14785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653640747070312 × 215)
    floor (0.653640747070312 × 32768)
    floor (21418.5)     		ty = 21418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14785 / 21418 ti = "15/14785/21418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14785/21418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14785 ÷ 215
    14785 ÷ 32768     		x = 0.451202392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21418 ÷ 215
    21418 ÷ 32768     		y = 0.65362548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451202392578125 × 2 - 1) × π
    -0.09759521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30660441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65362548828125 × 2 - 1) × π
    -0.3072509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.965257410749451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30660441} λ = -0.30660441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.965257410749451))-π/2
    2×atan(0.380885143189311)-π/2
    2×0.363920238654687-π/2
    0.727840477309373-1.57079632675     		φ = -0.84295585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30660441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.567139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84295585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.297813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14785 KachelY 21418 -0.30660441 -0.84295585 -17.567139 -48.297813
    Oben rechts KachelX + 1 14786 KachelY 21418 -0.30641266 -0.84295585 -17.556152 -48.297813
    Unten links KachelX 14785 KachelY + 1 21419 -0.30660441 -0.84308340 -17.567139 -48.305121
    Unten rechts KachelX + 1 14786 KachelY + 1 21419 -0.30641266 -0.84308340 -17.556152 -48.305121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84295585--0.84308340) × R
    0.000127550000000087 × 6371000     		dl = 812.621050000556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84295585--0.84308340) × R
    0.000127550000000087 × 6371000     		dr = 812.621050000556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30660441--0.30641266) × cos(-0.84295585) × R
    0.000191749999999991 × 0.665258859854601 × 6371000     		do = 812.706334608589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30660441--0.30641266) × cos(-0.84308340) × R
    0.000191749999999991 × 0.665163623982698 × 6371000     		du = 812.589990729465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84295585)-sin(-0.84308340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665258859854601-0.665163623982698)×R²
    abs(-0.30641266--0.30660441)×9.52358719030766e-05×R²
    0.000191749999999991×9.52358719030766e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.52358719030766e-05×40589641000000     		ar = 660375.004123761m²