Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14785 / 21358
↖ ↑ ↗
← S 47.857403°
W 17.567139°		 ← 819.69 m → S 47.857403°
W 17.556152°		 →
↑
819.63 m
↓
↑
819.63 m
↓
S 47.864774°
W 17.567139°		 ← 819.58 m →
671 797 m²		 S 47.864774°
W 17.556152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451217651367188 y=0.651809692382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451217651367188 × 215)
    floor (0.451217651367188 × 32768)
    floor (14785.5)     		tx = 14785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651809692382812 × 215)
    floor (0.651809692382812 × 32768)
    floor (21358.5)     		ty = 21358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14785 / 21358 ti = "15/14785/21358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14785/21358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14785 ÷ 215
    14785 ÷ 32768     		x = 0.451202392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21358 ÷ 215
    21358 ÷ 32768     		y = 0.65179443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451202392578125 × 2 - 1) × π
    -0.09759521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30660441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65179443359375 × 2 - 1) × π
    -0.3035888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.953752554840637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30660441} λ = -0.30660441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.953752554840637))-π/2
    2×atan(0.385292476131329)-π/2
    2×0.367763537423968-π/2
    0.735527074847936-1.57079632675     		φ = -0.83526925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30660441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.567139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83526925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.857403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14785 KachelY 21358 -0.30660441 -0.83526925 -17.567139 -47.857403
    Oben rechts KachelX + 1 14786 KachelY 21358 -0.30641266 -0.83526925 -17.556152 -47.857403
    Unten links KachelX 14785 KachelY + 1 21359 -0.30660441 -0.83539790 -17.567139 -47.864774
    Unten rechts KachelX + 1 14786 KachelY + 1 21359 -0.30641266 -0.83539790 -17.556152 -47.864774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83526925--0.83539790) × R
    0.000128650000000063 × 6371000     		dl = 819.629150000404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83526925--0.83539790) × R
    0.000128650000000063 × 6371000     		dr = 819.629150000404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30660441--0.30641266) × cos(-0.83526925) × R
    0.000191749999999991 × 0.67097806424777 × 6371000     		do = 819.693139174057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30660441--0.30641266) × cos(-0.83539790) × R
    0.000191749999999991 × 0.670882667653705 × 6371000     		du = 819.57659895043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83526925)-sin(-0.83539790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67097806424777-0.670882667653705)×R²
    abs(-0.30641266--0.30660441)×9.53965940651003e-05×R²
    0.000191749999999991×9.53965940651003e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.53965940651003e-05×40589641000000     		ar = 671796.631965932m²