Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14784 / 21359
↖ ↑ ↗
← S 47.864774°
W 17.578125°		 ← 819.58 m → S 47.864774°
W 17.567139°		 →
↑
819.50 m
↓
↑
819.50 m
↓
S 47.872144°
W 17.578125°		 ← 819.46 m →
671 597 m²		 S 47.872144°
W 17.567139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451187133789062 y=0.651840209960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451187133789062 × 215)
    floor (0.451187133789062 × 32768)
    floor (14784.5)     		tx = 14784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651840209960938 × 215)
    floor (0.651840209960938 × 32768)
    floor (21359.5)     		ty = 21359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14784 / 21359 ti = "15/14784/21359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14784/21359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14784 ÷ 215
    14784 ÷ 32768     		x = 0.451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21359 ÷ 215
    21359 ÷ 32768     		y = 0.651824951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451171875 × 2 - 1) × π
    -0.09765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30679616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651824951171875 × 2 - 1) × π
    -0.30364990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.953944302439117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30679616} λ = -0.30679616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.953944302439117))-π/2
    2×atan(0.385218604306917)-π/2
    2×0.367699212780892-π/2
    0.735398425561783-1.57079632675     		φ = -0.83539790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30679616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83539790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.864774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14784 KachelY 21359 -0.30679616 -0.83539790 -17.578125 -47.864774
    Oben rechts KachelX + 1 14785 KachelY 21359 -0.30660441 -0.83539790 -17.567139 -47.864774
    Unten links KachelX 14784 KachelY + 1 21360 -0.30679616 -0.83552653 -17.578125 -47.872144
    Unten rechts KachelX + 1 14785 KachelY + 1 21360 -0.30660441 -0.83552653 -17.567139 -47.872144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83539790--0.83552653) × R
    0.000128629999999963 × 6371000     		dl = 819.501729999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83539790--0.83552653) × R
    0.000128629999999963 × 6371000     		dr = 819.501729999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30679616--0.30660441) × cos(-0.83539790) × R
    0.000191749999999991 × 0.670882667653705 × 6371000     		do = 819.57659895043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30679616--0.30660441) × cos(-0.83552653) × R
    0.000191749999999991 × 0.670787274788976 × 6371000     		du = 819.460063282708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83539790)-sin(-0.83552653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670882667653705-0.670787274788976)×R²
    abs(-0.30660441--0.30679616)×9.5392864728705e-05×R²
    0.000191749999999991×9.5392864728705e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.5392864728705e-05×40589641000000     		ar = 671596.69104332m²