Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14783 / 11343
↖ ↑ ↗
← N 48.348948°
W 17.589112°		 ← 811.89 m → N 48.348948°
W 17.578125°		 →
↑
811.92 m
↓
↑
811.92 m
↓
N 48.341646°
W 17.589112°		 ← 812.01 m →
659 239 m²		 N 48.341646°
W 17.578125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451156616210938 y=0.346176147460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451156616210938 × 215)
    floor (0.451156616210938 × 32768)
    floor (14783.5)     		tx = 14783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346176147460938 × 215)
    floor (0.346176147460938 × 32768)
    floor (11343.5)     		ty = 11343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14783 / 11343 ti = "15/14783/11343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14783/11343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14783 ÷ 215
    14783 ÷ 32768     		x = 0.451141357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11343 ÷ 215
    11343 ÷ 32768     		y = 0.346160888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451141357421875 × 2 - 1) × π
    -0.09771728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30698791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346160888671875 × 2 - 1) × π
    0.30767822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.966599643938812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30698791} λ = -0.30698791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966599643938812))-π/2
    2×atan(2.62898974216433)-π/2
    2×1.20732233070826-π/2
    2.41464466141651-1.57079632675     		φ = 0.84384833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30698791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.589112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84384833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.348948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14783 KachelY 11343 -0.30698791 0.84384833 -17.589112 48.348948
    Oben rechts KachelX + 1 14784 KachelY 11343 -0.30679616 0.84384833 -17.578125 48.348948
    Unten links KachelX 14783 KachelY + 1 11344 -0.30698791 0.84372089 -17.589112 48.341646
    Unten rechts KachelX + 1 14784 KachelY + 1 11344 -0.30679616 0.84372089 -17.578125 48.341646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84384833-0.84372089) × R
    0.00012744000000009 × 6371000     		dl = 811.920240000572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84384833-0.84372089) × R
    0.00012744000000009 × 6371000     		dr = 811.920240000572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30698791--0.30679616) × cos(0.84384833) × R
    0.000191749999999991 × 0.664592258019345 × 6371000     		do = 811.891987642519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30698791--0.30679616) × cos(0.84372089) × R
    0.000191749999999991 × 0.664687476582563 × 6371000     		du = 812.008310376675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84384833)-sin(0.84372089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664592258019345-0.664687476582563)×R²
    abs(-0.30679616--0.30698791)×9.52185632185909e-05×R²
    0.000191749999999991×9.52185632185909e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.52185632185909e-05×40589641000000     		ar = 659238.760744902m²