Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14782 / 9915
↖ ↑ ↗
← N 57.733485°
W 17.600097°		 ← 652.15 m → N 57.733485°
W 17.589112°		 →
↑
652.26 m
↓
↑
652.26 m
↓
N 57.727619°
W 17.600097°		 ← 652.25 m →
425 407 m²		 N 57.727619°
W 17.589112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451126098632812 y=0.302597045898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451126098632812 × 215)
    floor (0.451126098632812 × 32768)
    floor (14782.5)     		tx = 14782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302597045898438 × 215)
    floor (0.302597045898438 × 32768)
    floor (9915.5)     		ty = 9915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14782 / 9915 ti = "15/14782/9915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14782/9915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14782 ÷ 215
    14782 ÷ 32768     		x = 0.45111083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9915 ÷ 215
    9915 ÷ 32768     		y = 0.302581787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45111083984375 × 2 - 1) × π
    -0.0977783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30717965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302581787109375 × 2 - 1) × π
    0.39483642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24041521456857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30717965} λ = -0.30717965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24041521456857))-π/2
    2×atan(3.45704858373714)-π/2
    2×1.28921786288827-π/2
    2.57843572577654-1.57079632675     		φ = 1.00763940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30717965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.600097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00763940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.733485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14782 KachelY 9915 -0.30717965 1.00763940 -17.600097 57.733485
    Oben rechts KachelX + 1 14783 KachelY 9915 -0.30698791 1.00763940 -17.589112 57.733485
    Unten links KachelX 14782 KachelY + 1 9916 -0.30717965 1.00753702 -17.600097 57.727619
    Unten rechts KachelX + 1 14783 KachelY + 1 9916 -0.30698791 1.00753702 -17.589112 57.727619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00763940-1.00753702) × R
    0.000102379999999958 × 6371000     		dl = 652.262979999729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00763940-1.00753702) × R
    0.000102379999999958 × 6371000     		dr = 652.262979999729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30717965--0.30698791) × cos(1.00763940) × R
    0.000191740000000051 × 0.533858268891924 × 6371000     		do = 652.148203105292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30717965--0.30698791) × cos(1.00753702) × R
    0.000191740000000051 × 0.533944835957565 × 6371000     		du = 652.253951315248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00763940)-sin(1.00753702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533858268891924-0.533944835957565)×R²
    abs(-0.30698791--0.30717965)×8.65670656406969e-05×R²
    0.000191740000000051×8.65670656406969e-05×6371000²
    0.000191740000000051×8.65670656406969e-05×40589641000000     		ar = 425406.618551514m²