Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14782 / 8860
↖ ↑ ↗
← N 63.411198°
W 17.600097°		 ← 546.76 m → N 63.411198°
W 17.589112°		 →
↑
546.82 m
↓
↑
546.82 m
↓
N 63.406280°
W 17.600097°		 ← 546.85 m →
299 005 m²		 N 63.406280°
W 17.589112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451126098632812 y=0.270401000976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451126098632812 × 215)
    floor (0.451126098632812 × 32768)
    floor (14782.5)     		tx = 14782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270401000976562 × 215)
    floor (0.270401000976562 × 32768)
    floor (8860.5)     		ty = 8860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14782 / 8860 ti = "15/14782/8860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14782/8860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14782 ÷ 215
    14782 ÷ 32768     		x = 0.45111083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8860 ÷ 215
    8860 ÷ 32768     		y = 0.2703857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45111083984375 × 2 - 1) × π
    -0.0977783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30717965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2703857421875 × 2 - 1) × π
    0.459228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.44270893096521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30717965} λ = -0.30717965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44270893096521))-π/2
    2×atan(4.23214489096404)-π/2
    2×1.33876525484371-π/2
    2.67753050968743-1.57079632675     		φ = 1.10673418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30717965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.600097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10673418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.411198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14782 KachelY 8860 -0.30717965 1.10673418 -17.600097 63.411198
    Oben rechts KachelX + 1 14783 KachelY 8860 -0.30698791 1.10673418 -17.589112 63.411198
    Unten links KachelX 14782 KachelY + 1 8861 -0.30717965 1.10664835 -17.600097 63.406280
    Unten rechts KachelX + 1 14783 KachelY + 1 8861 -0.30698791 1.10664835 -17.589112 63.406280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10673418-1.10664835) × R
    8.58299999999534e-05 × 6371000     		dl = 546.822929999703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10673418-1.10664835) × R
    8.58299999999534e-05 × 6371000     		dr = 546.822929999703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30717965--0.30698791) × cos(1.10673418) × R
    0.000191740000000051 × 0.447584330939125 × 6371000     		do = 546.758070762647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30717965--0.30698791) × cos(1.10664835) × R
    0.000191740000000051 × 0.447661082057848 × 6371000     		du = 546.851828051947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10673418)-sin(1.10664835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447584330939125-0.447661082057848)×R²
    abs(-0.30698791--0.30717965)×7.67511187232395e-05×R²
    0.000191740000000051×7.67511187232395e-05×6371000²
    0.000191740000000051×7.67511187232395e-05×40589641000000     		ar = 299005.484756482m²