Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14782 / 20426
↖ ↑ ↗
← S 40.530502°
W 17.600097°		 ← 928.47 m → S 40.530502°
W 17.589112°		 →
↑
928.45 m
↓
↑
928.45 m
↓
S 40.538851°
W 17.600097°		 ← 928.36 m →
861 981 m²		 S 40.538851°
W 17.589112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451126098632812 y=0.623367309570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451126098632812 × 215)
    floor (0.451126098632812 × 32768)
    floor (14782.5)     		tx = 14782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623367309570312 × 215)
    floor (0.623367309570312 × 32768)
    floor (20426.5)     		ty = 20426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14782 / 20426 ti = "15/14782/20426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14782/20426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14782 ÷ 215
    14782 ÷ 32768     		x = 0.45111083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20426 ÷ 215
    20426 ÷ 32768     		y = 0.62335205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45111083984375 × 2 - 1) × π
    -0.0977783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30717965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62335205078125 × 2 - 1) × π
    -0.2467041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.775043793057068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30717965} λ = -0.30717965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.775043793057068))-π/2
    2×atan(0.460683605813763)-π/2
    2×0.431702811669803-π/2
    0.863405623339606-1.57079632675     		φ = -0.70739070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30717965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.600097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70739070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.530502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14782 KachelY 20426 -0.30717965 -0.70739070 -17.600097 -40.530502
    Oben rechts KachelX + 1 14783 KachelY 20426 -0.30698791 -0.70739070 -17.589112 -40.530502
    Unten links KachelX 14782 KachelY + 1 20427 -0.30717965 -0.70753643 -17.600097 -40.538851
    Unten rechts KachelX + 1 14783 KachelY + 1 20427 -0.30698791 -0.70753643 -17.589112 -40.538851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70739070--0.70753643) × R
    0.000145729999999955 × 6371000     		dl = 928.445829999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70739070--0.70753643) × R
    0.000145729999999955 × 6371000     		dr = 928.445829999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30717965--0.30698791) × cos(-0.70739070) × R
    0.000191740000000051 × 0.760060122287572 × 6371000     		do = 928.470854316156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30717965--0.30698791) × cos(-0.70753643) × R
    0.000191740000000051 × 0.759965411174313 × 6371000     		du = 928.355157536832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70739070)-sin(-0.70753643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760060122287572-0.759965411174313)×R²
    abs(-0.30698791--0.30717965)×9.47111132593159e-05×R²
    0.000191740000000051×9.47111132593159e-05×6371000²
    0.000191740000000051×9.47111132593159e-05×40589641000000     		ar = 861981.185394856m²