Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14781 / 8835
↖ ↑ ↗
← N 63.533867°
W 17.611084°		 ← 544.45 m → N 63.533867°
W 17.600097°		 →
↑
544.47 m
↓
↑
544.47 m
↓
N 63.528971°
W 17.611084°		 ← 544.54 m →
296 458 m²		 N 63.528971°
W 17.600097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451095581054688 y=0.269638061523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451095581054688 × 215)
    floor (0.451095581054688 × 32768)
    floor (14781.5)     		tx = 14781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269638061523438 × 215)
    floor (0.269638061523438 × 32768)
    floor (8835.5)     		ty = 8835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14781 / 8835 ti = "15/14781/8835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14781/8835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14781 ÷ 215
    14781 ÷ 32768     		x = 0.451080322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8835 ÷ 215
    8835 ÷ 32768     		y = 0.269622802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451080322265625 × 2 - 1) × π
    -0.09783935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30737140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.269622802734375 × 2 - 1) × π
    0.46075439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.44750262092722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30737140} λ = -0.30737140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44750262092722))-π/2
    2×atan(4.2524811854479)-π/2
    2×1.33983574818365-π/2
    2.67967149636729-1.57079632675     		φ = 1.10887517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30737140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.611084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10887517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.533867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14781 KachelY 8835 -0.30737140 1.10887517 -17.611084 63.533867
    Oben rechts KachelX + 1 14782 KachelY 8835 -0.30717965 1.10887517 -17.600097 63.533867
    Unten links KachelX 14781 KachelY + 1 8836 -0.30737140 1.10878971 -17.611084 63.528971
    Unten rechts KachelX + 1 14782 KachelY + 1 8836 -0.30717965 1.10878971 -17.600097 63.528971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10887517-1.10878971) × R
    8.54599999999817e-05 × 6371000     		dl = 544.465659999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10887517-1.10878971) × R
    8.54599999999817e-05 × 6371000     		dr = 544.465659999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30737140--0.30717965) × cos(1.10887517) × R
    0.000191749999999991 × 0.445668743979562 × 6371000     		do = 544.446430143607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30737140--0.30717965) × cos(1.10878971) × R
    0.000191749999999991 × 0.44574524596887 × 6371000     		du = 544.539887976449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10887517)-sin(1.10878971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445668743979562-0.44574524596887)×R²
    abs(-0.30717965--0.30737140)×7.65019893083085e-05×R²
    0.000191749999999991×7.65019893083085e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.65019893083085e-05×40589641000000     		ar = 296457.827393738m²