Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14781 / 10701
↖ ↑ ↗
← N 76.251734°
W 98.805542°		 ← 145.17 m → N 76.251734°
W 98.800049°		 →
↑
145.13 m
↓
↑
145.13 m
↓
N 76.250428°
W 98.805542°		 ← 145.19 m →
21 070 m²		 N 76.250428°
W 98.800049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14781 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225547790527344 y=0.163291931152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225547790527344 × 216)
    floor (0.225547790527344 × 65536)
    floor (14781.5)     		tx = 14781
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163291931152344 × 216)
    floor (0.163291931152344 × 65536)
    floor (10701.5)     		ty = 10701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14781 / 10701 ti = "16/14781/10701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14781/10701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14781 ÷ 216
    14781 ÷ 65536     		x = 0.225540161132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10701 ÷ 216
    10701 ÷ 65536     		y = 0.163284301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.225540161132812 × 2 - 1) × π
    -0.548919677734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.72448203
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163284301757812 × 2 - 1) × π
    0.673431396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.11564712783156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72448203} λ = -1.72448203}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11564712783156))-π/2
    2×atan(8.29495192388832)-π/2
    2×1.45082006922729-π/2
    2.90164013845459-1.57079632675     		φ = 1.33084381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72448203} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.805542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33084381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.251734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14781 KachelY 10701 -1.72448203 1.33084381 -98.805542 76.251734
    Oben rechts KachelX + 1 14782 KachelY 10701 -1.72438615 1.33084381 -98.800049 76.251734
    Unten links KachelX 14781 KachelY + 1 10702 -1.72448203 1.33082103 -98.805542 76.250428
    Unten rechts KachelX + 1 14782 KachelY + 1 10702 -1.72438615 1.33082103 -98.800049 76.250428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33084381-1.33082103) × R
    2.2779999999889e-05 × 6371000     		dl = 145.131379999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33084381-1.33082103) × R
    2.2779999999889e-05 × 6371000     		dr = 145.131379999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72448203--1.72438615) × cos(1.33084381) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.237656503918899 × 6371000     		do = 145.172827150726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72448203--1.72438615) × cos(1.33082103) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.237678631193391 × 6371000     		du = 145.186343629098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33084381)-sin(1.33082103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237656503918899-0.237678631193391)×R²
    abs(-1.72438615--1.72448203)×2.21272744919954e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.21272744919954e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.21272744919954e-05×40589641000000     		ar = 21070.1135762268m²