Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14780 / 8852
↖ ↑ ↗
← N 63.450509°
W 17.622070°		 ← 546.04 m → N 63.450509°
W 17.611084°		 →
↑
546.06 m
↓
↑
546.06 m
↓
N 63.445599°
W 17.622070°		 ← 546.13 m →
298 194 m²		 N 63.445599°
W 17.611084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451065063476562 y=0.270156860351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451065063476562 × 215)
    floor (0.451065063476562 × 32768)
    floor (14780.5)     		tx = 14780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270156860351562 × 215)
    floor (0.270156860351562 × 32768)
    floor (8852.5)     		ty = 8852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14780 / 8852 ti = "15/14780/8852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14780/8852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14780 ÷ 215
    14780 ÷ 32768     		x = 0.4510498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8852 ÷ 215
    8852 ÷ 32768     		y = 0.2701416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4510498046875 × 2 - 1) × π
    -0.097900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30756315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2701416015625 × 2 - 1) × π
    0.459716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.44424291175305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30756315} λ = -0.30756315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44424291175305))-π/2
    2×atan(4.23864190178903)-π/2
    2×1.33910831234879-π/2
    2.67821662469758-1.57079632675     		φ = 1.10742030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30756315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.622070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10742030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.450509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14780 KachelY 8852 -0.30756315 1.10742030 -17.622070 63.450509
    Oben rechts KachelX + 1 14781 KachelY 8852 -0.30737140 1.10742030 -17.611084 63.450509
    Unten links KachelX 14780 KachelY + 1 8853 -0.30756315 1.10733459 -17.622070 63.445599
    Unten rechts KachelX + 1 14781 KachelY + 1 8853 -0.30737140 1.10733459 -17.611084 63.445599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10742030-1.10733459) × R
    8.57100000000166e-05 × 6371000     		dl = 546.058410000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10742030-1.10733459) × R
    8.57100000000166e-05 × 6371000     		dr = 546.058410000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30756315--0.30737140) × cos(1.10742030) × R
    0.000191749999999991 × 0.446970668500844 × 6371000     		do = 546.036912239343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30756315--0.30737140) × cos(1.10733459) × R
    0.000191749999999991 × 0.447047338620624 × 6371000     		du = 546.130575466969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10742030)-sin(1.10733459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446970668500844-0.447047338620624)×R²
    abs(-0.30737140--0.30756315)×7.66701197804642e-05×R²
    0.000191749999999991×7.66701197804642e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.66701197804642e-05×40589641000000     		ar = 298193.621077879m²