Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14780 / 11347
↖ ↑ ↗
← N 48.319734°
W 17.622070°		 ← 812.36 m → N 48.319734°
W 17.611084°		 →
↑
812.37 m
↓
↑
812.37 m
↓
N 48.312428°
W 17.622070°		 ← 812.47 m →
659 979 m²		 N 48.312428°
W 17.611084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451065063476562 y=0.346298217773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451065063476562 × 215)
    floor (0.451065063476562 × 32768)
    floor (14780.5)     		tx = 14780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346298217773438 × 215)
    floor (0.346298217773438 × 32768)
    floor (11347.5)     		ty = 11347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14780 / 11347 ti = "15/14780/11347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14780/11347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14780 ÷ 215
    14780 ÷ 32768     		x = 0.4510498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11347 ÷ 215
    11347 ÷ 32768     		y = 0.346282958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4510498046875 × 2 - 1) × π
    -0.097900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30756315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346282958984375 × 2 - 1) × π
    0.30743408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.965832653544891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30756315} λ = -0.30756315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.965832653544891))-π/2
    2×atan(2.62697410537221)-π/2
    2×1.20706738973538-π/2
    2.41413477947075-1.57079632675     		φ = 0.84333845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30756315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.622070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84333845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.319734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14780 KachelY 11347 -0.30756315 0.84333845 -17.622070 48.319734
    Oben rechts KachelX + 1 14781 KachelY 11347 -0.30737140 0.84333845 -17.611084 48.319734
    Unten links KachelX 14780 KachelY + 1 11348 -0.30756315 0.84321094 -17.622070 48.312428
    Unten rechts KachelX + 1 14781 KachelY + 1 11348 -0.30737140 0.84321094 -17.611084 48.312428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84333845-0.84321094) × R
    0.000127509999999997 × 6371000     		dl = 812.366209999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84333845-0.84321094) × R
    0.000127509999999997 × 6371000     		dr = 812.366209999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30756315--0.30737140) × cos(0.84333845) × R
    0.000191749999999991 × 0.664973157119159 × 6371000     		do = 812.357308933141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30756315--0.30737140) × cos(0.84321094) × R
    0.000191749999999991 × 0.665068384757071 × 6371000     		du = 812.473642753299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84333845)-sin(0.84321094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664973157119159-0.665068384757071)×R²
    abs(-0.30737140--0.30756315)×9.5227637911699e-05×R²
    0.000191749999999991×9.5227637911699e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.5227637911699e-05×40589641000000     		ar = 659978.88195m²