Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14780 / 10820
↖ ↑ ↗
← N 76.095517°
W 98.811035°		 ← 146.77 m → N 76.095517°
W 98.805542°		 →
↑
146.79 m
↓
↑
146.79 m
↓
N 76.094197°
W 98.811035°		 ← 146.79 m →
21 546 m²		 N 76.094197°
W 98.805542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225532531738281 y=0.165107727050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225532531738281 × 216)
    floor (0.225532531738281 × 65536)
    floor (14780.5)     		tx = 14780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165107727050781 × 216)
    floor (0.165107727050781 × 65536)
    floor (10820.5)     		ty = 10820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14780 / 10820 ti = "16/14780/10820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14780/10820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14780 ÷ 216
    14780 ÷ 65536     		x = 0.22552490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10820 ÷ 216
    10820 ÷ 65536     		y = 0.16510009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22552490234375 × 2 - 1) × π
    -0.5489501953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.72457790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16510009765625 × 2 - 1) × π
    0.6697998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10423814572198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72457790} λ = -1.72457790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10423814572198))-π/2
    2×atan(8.20085277424442)-π/2
    2×1.44945682163543-π/2
    2.89891364327087-1.57079632675     		φ = 1.32811732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72457790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.811035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32811732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.095517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14780 KachelY 10820 -1.72457790 1.32811732 -98.811035 76.095517
    Oben rechts KachelX + 1 14781 KachelY 10820 -1.72448203 1.32811732 -98.805542 76.095517
    Unten links KachelX 14780 KachelY + 1 10821 -1.72457790 1.32809428 -98.811035 76.094197
    Unten rechts KachelX + 1 14781 KachelY + 1 10821 -1.72448203 1.32809428 -98.805542 76.094197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32811732-1.32809428) × R
    2.30400000000852e-05 × 6371000     		dl = 146.787840000543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32811732-1.32809428) × R
    2.30400000000852e-05 × 6371000     		dr = 146.787840000543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72457790--1.72448203) × cos(1.32811732) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.240303991344617 × 6371000     		do = 146.774738995475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72457790--1.72448203) × cos(1.32809428) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.240326356155449 × 6371000     		du = 146.788399148409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32811732)-sin(1.32809428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240303991344617-0.240326356155449)×R²
    abs(-1.72448203--1.72457790)×2.23648108322871e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.23648108322871e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.23648108322871e-05×40589641000000     		ar = 21545.7494767651m²