Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1478 / 1739
↖ ↑ ↗
← N 26.194877°
W 50.097656°		 ← 8 769.28 m → N 26.194877°
W 50.009766°		 →
↑
8 772.29 m
↓
↑
8 772.29 m
↓
N 26.115986°
W 50.097656°		 ← 8 775.21 m →
76 952 727 m²		 N 26.115986°
W 50.009766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3609619140625 y=0.4246826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3609619140625 × 212)
    floor (0.3609619140625 × 4096)
    floor (1478.5)     		tx = 1478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4246826171875 × 212)
    floor (0.4246826171875 × 4096)
    floor (1739.5)     		ty = 1739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1478 / 1739 ti = "12/1478/1739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1478/1739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1478 ÷ 212
    1478 ÷ 4096     		x = 0.36083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1739 ÷ 212
    1739 ÷ 4096     		y = 0.424560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36083984375 × 2 - 1) × π
    -0.2783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.87436905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424560546875 × 2 - 1) × π
    0.15087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.474000063443115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87436905} λ = -0.87436905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474000063443115))-π/2
    2×atan(1.60640708894293)-π/2
    2×1.01399158596462-π/2
    2.02798317192923-1.57079632675     		φ = 0.45718685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87436905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.097656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45718685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.194877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1478 KachelY 1739 -0.87436905 0.45718685 -50.097656 26.194877
    Oben rechts KachelX + 1 1479 KachelY 1739 -0.87283507 0.45718685 -50.009766 26.194877
    Unten links KachelX 1478 KachelY + 1 1740 -0.87436905 0.45580994 -50.097656 26.115986
    Unten rechts KachelX + 1 1479 KachelY + 1 1740 -0.87283507 0.45580994 -50.009766 26.115986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45718685-0.45580994) × R
    0.00137690999999995 × 6371000     		dl = 8772.2936099997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45718685-0.45580994) × R
    0.00137690999999995 × 6371000     		dr = 8772.2936099997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87436905--0.87283507) × cos(0.45718685) × R
    0.00153397999999993 × 0.897297842901807 × 6371000     		do = 8769.27977694193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87436905--0.87283507) × cos(0.45580994) × R
    0.00153397999999993 × 0.897904795480173 × 6371000     		du = 8775.211516345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45718685)-sin(0.45580994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897297842901807-0.897904795480173)×R²
    abs(-0.87283507--0.87436905)×0.000606952578366293×R²
    0.00153397999999993×0.000606952578366293×6371000²
    0.00153397999999993×0.000606952578366293×40589641000000     		ar = 76952726.5891677m²