Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14779 / 11326
↖ ↑ ↗
← N 48.472921°
W 17.633057°		 ← 809.91 m → N 48.472921°
W 17.622070°		 →
↑
809.95 m
↓
↑
809.95 m
↓
N 48.465637°
W 17.633057°		 ← 810.03 m →
656 034 m²		 N 48.465637°
W 17.622070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451034545898438 y=0.345657348632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451034545898438 × 215)
    floor (0.451034545898438 × 32768)
    floor (14779.5)     		tx = 14779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345657348632812 × 215)
    floor (0.345657348632812 × 32768)
    floor (11326.5)     		ty = 11326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14779 / 11326 ti = "15/14779/11326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14779/11326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14779 ÷ 215
    14779 ÷ 32768     		x = 0.451019287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11326 ÷ 215
    11326 ÷ 32768     		y = 0.34564208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451019287109375 × 2 - 1) × π
    -0.09796142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30775490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34564208984375 × 2 - 1) × π
    0.3087158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.969859353112976
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30775490} λ = -0.30775490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.969859353112976))-π/2
    2×atan(2.63757346676789)-π/2
    2×1.20840420052072-π/2
    2.41680840104143-1.57079632675     		φ = 0.84601207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30775490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.633057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84601207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.472921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14779 KachelY 11326 -0.30775490 0.84601207 -17.633057 48.472921
    Oben rechts KachelX + 1 14780 KachelY 11326 -0.30756315 0.84601207 -17.622070 48.472921
    Unten links KachelX 14779 KachelY + 1 11327 -0.30775490 0.84588494 -17.633057 48.465637
    Unten rechts KachelX + 1 14780 KachelY + 1 11327 -0.30756315 0.84588494 -17.622070 48.465637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84601207-0.84588494) × R
    0.000127129999999975 × 6371000     		dl = 809.945229999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84601207-0.84588494) × R
    0.000127129999999975 × 6371000     		dr = 809.945229999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30775490--0.30756315) × cos(0.84601207) × R
    0.000191749999999991 × 0.662973943567427 × 6371000     		do = 809.914991189213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30775490--0.30756315) × cos(0.84588494) × R
    0.000191749999999991 × 0.663069113127069 × 6371000     		du = 810.031254058677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84601207)-sin(0.84588494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662973943567427-0.663069113127069)×R²
    abs(-0.30756315--0.30775490)×9.5169559642172e-05×R²
    0.000191749999999991×9.5169559642172e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.5169559642172e-05×40589641000000     		ar = 656033.867980647m²