Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14779 / 10828
↖ ↑ ↗
← N 76.084953°
W 98.816528°		 ← 146.88 m → N 76.084953°
W 98.811035°		 →
↑
146.92 m
↓
↑
146.92 m
↓
N 76.083632°
W 98.816528°		 ← 146.90 m →
21 581 m²		 N 76.083632°
W 98.811035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225517272949219 y=0.165229797363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225517272949219 × 216)
    floor (0.225517272949219 × 65536)
    floor (14779.5)     		tx = 14779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165229797363281 × 216)
    floor (0.165229797363281 × 65536)
    floor (10828.5)     		ty = 10828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14779 / 10828 ti = "16/14779/10828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14779/10828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14779 ÷ 216
    14779 ÷ 65536     		x = 0.225509643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10828 ÷ 216
    10828 ÷ 65536     		y = 0.16522216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.225509643554688 × 2 - 1) × π
    -0.548980712890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.72467377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16522216796875 × 2 - 1) × π
    0.6695556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10347115532806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72467377} λ = -1.72467377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10347115532806))-π/2
    2×atan(8.19456521050335)-π/2
    2×1.44936463189405-π/2
    2.8987292637881-1.57079632675     		φ = 1.32793294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72467377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.816528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32793294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.084953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14779 KachelY 10828 -1.72467377 1.32793294 -98.816528 76.084953
    Oben rechts KachelX + 1 14780 KachelY 10828 -1.72457790 1.32793294 -98.811035 76.084953
    Unten links KachelX 14779 KachelY + 1 10829 -1.72467377 1.32790988 -98.816528 76.083632
    Unten rechts KachelX + 1 14780 KachelY + 1 10829 -1.72457790 1.32790988 -98.811035 76.083632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32793294-1.32790988) × R
    2.30599999999637e-05 × 6371000     		dl = 146.915259999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32793294-1.32790988) × R
    2.30599999999637e-05 × 6371000     		dr = 146.915259999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72467377--1.72457790) × cos(1.32793294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.240482964497706 × 6371000     		do = 146.88405360854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72467377--1.72457790) × cos(1.32790988) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.240505347700227 × 6371000     		du = 146.897724994893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32793294)-sin(1.32790988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240482964497706-0.240505347700227)×R²
    abs(-1.72457790--1.72467377)×2.23832025217918e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.23832025217918e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.23832025217918e-05×40589641000000     		ar = 21580.5131944941m²