Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14777 / 8842
↖ ↑ ↗
← N 63.499573°
W 17.655029°		 ← 545.10 m → N 63.499573°
W 17.644043°		 →
↑
545.17 m
↓
↑
545.17 m
↓
N 63.494670°
W 17.655029°		 ← 545.19 m →
297 196 m²		 N 63.494670°
W 17.644043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450973510742188 y=0.269851684570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450973510742188 × 215)
    floor (0.450973510742188 × 32768)
    floor (14777.5)     		tx = 14777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269851684570312 × 215)
    floor (0.269851684570312 × 32768)
    floor (8842.5)     		ty = 8842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14777 / 8842 ti = "15/14777/8842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14777/8842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14777 ÷ 215
    14777 ÷ 32768     		x = 0.450958251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8842 ÷ 215
    8842 ÷ 32768     		y = 0.26983642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450958251953125 × 2 - 1) × π
    -0.09808349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30813839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26983642578125 × 2 - 1) × π
    0.4603271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44616038773785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30813839} λ = -0.30813839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44616038773785))-π/2
    2×atan(4.24677719296402)-π/2
    2×1.33953647274808-π/2
    2.67907294549616-1.57079632675     		φ = 1.10827662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30813839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.655029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10827662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.499573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14777 KachelY 8842 -0.30813839 1.10827662 -17.655029 63.499573
    Oben rechts KachelX + 1 14778 KachelY 8842 -0.30794664 1.10827662 -17.644043 63.499573
    Unten links KachelX 14777 KachelY + 1 8843 -0.30813839 1.10819105 -17.655029 63.494670
    Unten rechts KachelX + 1 14778 KachelY + 1 8843 -0.30794664 1.10819105 -17.644043 63.494670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10827662-1.10819105) × R
    8.55699999999793e-05 × 6371000     		dl = 545.166469999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10827662-1.10819105) × R
    8.55699999999793e-05 × 6371000     		dr = 545.166469999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30813839--0.30794664) × cos(1.10827662) × R
    0.000191749999999991 × 0.446204484847751 × 6371000     		do = 545.100912216017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30813839--0.30794664) × cos(1.10819105) × R
    0.000191749999999991 × 0.446281062462732 × 6371000     		du = 545.194462436149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10827662)-sin(1.10819105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446204484847751-0.446281062462732)×R²
    abs(-0.30794664--0.30813839)×7.65776149808106e-05×R²
    0.000191749999999991×7.65776149808106e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.65776149808106e-05×40589641000000     		ar = 297196.240509493m²