Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14777 / 8810
↖ ↑ ↗
← N 63.656012°
W 17.655029°		 ← 542.11 m → N 63.656012°
W 17.644043°		 →
↑
542.17 m
↓
↑
542.17 m
↓
N 63.651136°
W 17.655029°		 ← 542.21 m →
293 944 m²		 N 63.651136°
W 17.644043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450973510742188 y=0.268875122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450973510742188 × 215)
    floor (0.450973510742188 × 32768)
    floor (14777.5)     		tx = 14777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268875122070312 × 215)
    floor (0.268875122070312 × 32768)
    floor (8810.5)     		ty = 8810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14777 / 8810 ti = "15/14777/8810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14777/8810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14777 ÷ 215
    14777 ÷ 32768     		x = 0.450958251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8810 ÷ 215
    8810 ÷ 32768     		y = 0.26885986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450958251953125 × 2 - 1) × π
    -0.09808349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30813839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26885986328125 × 2 - 1) × π
    0.4622802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.45229631088922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30813839} λ = -0.30813839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45229631088922))-π/2
    2×atan(4.27291519985486)-π/2
    2×1.34090165756182-π/2
    2.68180331512365-1.57079632675     		φ = 1.11100699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30813839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.655029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11100699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.656012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14777 KachelY 8810 -0.30813839 1.11100699 -17.655029 63.656012
    Oben rechts KachelX + 1 14778 KachelY 8810 -0.30794664 1.11100699 -17.644043 63.656012
    Unten links KachelX 14777 KachelY + 1 8811 -0.30813839 1.11092189 -17.655029 63.651136
    Unten rechts KachelX + 1 14778 KachelY + 1 8811 -0.30794664 1.11092189 -17.644043 63.651136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11100699-1.11092189) × R
    8.50999999999491e-05 × 6371000     		dl = 542.172099999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11100699-1.11092189) × R
    8.50999999999491e-05 × 6371000     		dr = 542.172099999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30813839--0.30794664) × cos(1.11100699) × R
    0.000191749999999991 × 0.443759331824863 × 6371000     		do = 542.113817311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30813839--0.30794664) × cos(1.11092189) × R
    0.000191749999999991 × 0.443835592242616 × 6371000     		du = 542.206980030548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11100699)-sin(1.11092189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443759331824863-0.443835592242616)×R²
    abs(-0.30794664--0.30813839)×7.62604177529935e-05×R²
    0.000191749999999991×7.62604177529935e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.62604177529935e-05×40589641000000     		ar = 293944.242061086m²