Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14776 / 8811
↖ ↑ ↗
← N 63.651136°
W 17.666016°		 ← 542.21 m → N 63.651136°
W 17.655029°		 →
↑
542.24 m
↓
↑
542.24 m
↓
N 63.646259°
W 17.666016°		 ← 542.30 m →
294 029 m²		 N 63.646259°
W 17.655029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450942993164062 y=0.268905639648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450942993164062 × 215)
    floor (0.450942993164062 × 32768)
    floor (14776.5)     		tx = 14776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268905639648438 × 215)
    floor (0.268905639648438 × 32768)
    floor (8811.5)     		ty = 8811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14776 / 8811 ti = "15/14776/8811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14776/8811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14776 ÷ 215
    14776 ÷ 32768     		x = 0.450927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8811 ÷ 215
    8811 ÷ 32768     		y = 0.268890380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450927734375 × 2 - 1) × π
    -0.09814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30833014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268890380859375 × 2 - 1) × π
    0.46221923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.45210456329074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30833014} λ = -0.30833014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45210456329074))-π/2
    2×atan(4.2720959571732)-π/2
    2×1.34085910901311-π/2
    2.68171821802621-1.57079632675     		φ = 1.11092189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30833014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.666016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11092189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.651136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14776 KachelY 8811 -0.30833014 1.11092189 -17.666016 63.651136
    Oben rechts KachelX + 1 14777 KachelY 8811 -0.30813839 1.11092189 -17.655029 63.651136
    Unten links KachelX 14776 KachelY + 1 8812 -0.30833014 1.11083678 -17.666016 63.646259
    Unten rechts KachelX + 1 14777 KachelY + 1 8812 -0.30813839 1.11083678 -17.655029 63.646259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11092189-1.11083678) × R
    8.51099999998883e-05 × 6371000     		dl = 542.235809999289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11092189-1.11083678) × R
    8.51099999998883e-05 × 6371000     		dr = 542.235809999289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30833014--0.30813839) × cos(1.11092189) × R
    0.000191749999999991 × 0.443835592242616 × 6371000     		do = 542.206980030548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30833014--0.30813839) × cos(1.11083678) × R
    0.000191749999999991 × 0.443911858406812 × 6371000     		du = 542.300149770177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11092189)-sin(1.11083678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443835592242616-0.443911858406812)×R²
    abs(-0.30813839--0.30833014)×7.62661641957041e-05×R²
    0.000191749999999991×7.62661641957041e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.62661641957041e-05×40589641000000     		ar = 294029.301166359m²