Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14775 / 8810
↖ ↑ ↗
← N 63.656012°
W 17.677002°		 ← 542.11 m → N 63.656012°
W 17.666016°		 →
↑
542.17 m
↓
↑
542.17 m
↓
N 63.651136°
W 17.677002°		 ← 542.21 m →
293 944 m²		 N 63.651136°
W 17.666016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450912475585938 y=0.268875122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450912475585938 × 215)
    floor (0.450912475585938 × 32768)
    floor (14775.5)     		tx = 14775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268875122070312 × 215)
    floor (0.268875122070312 × 32768)
    floor (8810.5)     		ty = 8810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14775 / 8810 ti = "15/14775/8810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14775/8810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14775 ÷ 215
    14775 ÷ 32768     		x = 0.450897216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8810 ÷ 215
    8810 ÷ 32768     		y = 0.26885986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450897216796875 × 2 - 1) × π
    -0.09820556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30852189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26885986328125 × 2 - 1) × π
    0.4622802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.45229631088922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30852189} λ = -0.30852189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45229631088922))-π/2
    2×atan(4.27291519985486)-π/2
    2×1.34090165756182-π/2
    2.68180331512365-1.57079632675     		φ = 1.11100699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30852189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.677002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11100699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.656012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14775 KachelY 8810 -0.30852189 1.11100699 -17.677002 63.656012
    Oben rechts KachelX + 1 14776 KachelY 8810 -0.30833014 1.11100699 -17.666016 63.656012
    Unten links KachelX 14775 KachelY + 1 8811 -0.30852189 1.11092189 -17.677002 63.651136
    Unten rechts KachelX + 1 14776 KachelY + 1 8811 -0.30833014 1.11092189 -17.666016 63.651136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11100699-1.11092189) × R
    8.50999999999491e-05 × 6371000     		dl = 542.172099999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11100699-1.11092189) × R
    8.50999999999491e-05 × 6371000     		dr = 542.172099999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30852189--0.30833014) × cos(1.11100699) × R
    0.000191750000000046 × 0.443759331824863 × 6371000     		do = 542.113817311157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30852189--0.30833014) × cos(1.11092189) × R
    0.000191750000000046 × 0.443835592242616 × 6371000     		du = 542.206980030705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11100699)-sin(1.11092189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443759331824863-0.443835592242616)×R²
    abs(-0.30833014--0.30852189)×7.62604177529935e-05×R²
    0.000191750000000046×7.62604177529935e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.62604177529935e-05×40589641000000     		ar = 293944.242061171m²