Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14774 / 8809
↖ ↑ ↗
← N 63.660886°
W 17.687988°		 ← 541.99 m → N 63.660886°
W 17.677002°		 →
↑
542.04 m
↓
↑
542.04 m
↓
N 63.656012°
W 17.687988°		 ← 542.09 m →
293 809 m²		 N 63.656012°
W 17.677002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450881958007812 y=0.268844604492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450881958007812 × 215)
    floor (0.450881958007812 × 32768)
    floor (14774.5)     		tx = 14774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268844604492188 × 215)
    floor (0.268844604492188 × 32768)
    floor (8809.5)     		ty = 8809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14774 / 8809 ti = "15/14774/8809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14774/8809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14774 ÷ 215
    14774 ÷ 32768     		x = 0.45086669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8809 ÷ 215
    8809 ÷ 32768     		y = 0.268829345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45086669921875 × 2 - 1) × π
    -0.0982666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30871363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268829345703125 × 2 - 1) × π
    0.46234130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4524880584877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30871363} λ = -0.30871363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4524880584877))-π/2
    2×atan(4.2737345996394)-π/2
    2×1.34094419879989-π/2
    2.68188839759978-1.57079632675     		φ = 1.11109207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30871363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.687988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11109207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.660886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14774 KachelY 8809 -0.30871363 1.11109207 -17.687988 63.660886
    Oben rechts KachelX + 1 14775 KachelY 8809 -0.30852189 1.11109207 -17.677002 63.660886
    Unten links KachelX 14774 KachelY + 1 8810 -0.30871363 1.11100699 -17.687988 63.656012
    Unten rechts KachelX + 1 14775 KachelY + 1 8810 -0.30852189 1.11100699 -17.677002 63.656012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11109207-1.11100699) × R
    8.50800000000707e-05 × 6371000     		dl = 542.04468000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11109207-1.11100699) × R
    8.50800000000707e-05 × 6371000     		dr = 542.04468000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30871363--0.30852189) × cos(1.11109207) × R
    0.000191739999999996 × 0.443683086117076 × 6371000     		do = 541.992405512321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30871363--0.30852189) × cos(1.11100699) × R
    0.000191739999999996 × 0.443759331824863 × 6371000     		du = 542.085545403984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11109207)-sin(1.11100699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443683086117076-0.443759331824863)×R²
    abs(-0.30852189--0.30871363)×7.62457077874146e-05×R²
    0.000191739999999996×7.62457077874146e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.62457077874146e-05×40589641000000     		ar = 293809.343177142m²