Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14772 / 10596
↖ ↑ ↗
← N 76.388142°
W 98.854980°		 ← 143.74 m → N 76.388142°
W 98.849487°		 →
↑
143.79 m
↓
↑
143.79 m
↓
N 76.386848°
W 98.854980°		 ← 143.76 m →
20 671 m²		 N 76.386848°
W 98.849487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225410461425781 y=0.161689758300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225410461425781 × 216)
    floor (0.225410461425781 × 65536)
    floor (14772.5)     		tx = 14772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161689758300781 × 216)
    floor (0.161689758300781 × 65536)
    floor (10596.5)     		ty = 10596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14772 / 10596 ti = "16/14772/10596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14772/10596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14772 ÷ 216
    14772 ÷ 65536     		x = 0.22540283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10596 ÷ 216
    10596 ÷ 65536     		y = 0.16168212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22540283203125 × 2 - 1) × π
    -0.5491943359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.72534489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16168212890625 × 2 - 1) × π
    0.6766357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.12571387675177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72534489} λ = -1.72534489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12571387675177))-π/2
    2×atan(8.37887683899485)-π/2
    2×1.45201045279738-π/2
    2.90402090559477-1.57079632675     		φ = 1.33322458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72534489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.854980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33322458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.388142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14772 KachelY 10596 -1.72534489 1.33322458 -98.854980 76.388142
    Oben rechts KachelX + 1 14773 KachelY 10596 -1.72524902 1.33322458 -98.849487 76.388142
    Unten links KachelX 14772 KachelY + 1 10597 -1.72534489 1.33320201 -98.854980 76.386848
    Unten rechts KachelX + 1 14773 KachelY + 1 10597 -1.72524902 1.33320201 -98.849487 76.386848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33322458-1.33320201) × R
    2.2570000000055e-05 × 6371000     		dl = 143.793470000351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33322458-1.33320201) × R
    2.2570000000055e-05 × 6371000     		dr = 143.793470000351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72534489--1.72524902) × cos(1.33322458) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.235343273398236 × 6371000     		do = 143.744793143406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72534489--1.72524902) × cos(1.33320201) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.23536520939919 × 6371000     		du = 143.758191384511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33322458)-sin(1.33320201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235343273398236-0.23536520939919)×R²
    abs(-1.72524902--1.72534489)×2.19360009543479e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.19360009543479e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.19360009543479e-05×40589641000000     		ar = 20670.5258910948m²