Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14771 / 10672
↖ ↑ ↗
← N 76.289542°
W 98.860473°		 ← 144.77 m → N 76.289542°
W 98.854980°		 →
↑
144.81 m
↓
↑
144.81 m
↓
N 76.288240°
W 98.860473°		 ← 144.78 m →
20 965 m²		 N 76.288240°
W 98.854980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225395202636719 y=0.162849426269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225395202636719 × 216)
    floor (0.225395202636719 × 65536)
    floor (14771.5)     		tx = 14771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162849426269531 × 216)
    floor (0.162849426269531 × 65536)
    floor (10672.5)     		ty = 10672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14771 / 10672 ti = "16/14771/10672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14771/10672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14771 ÷ 216
    14771 ÷ 65536     		x = 0.225387573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10672 ÷ 216
    10672 ÷ 65536     		y = 0.162841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.225387573242188 × 2 - 1) × π
    -0.549224853515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.72544076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162841796875 × 2 - 1) × π
    0.67431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11842746800952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72544076} λ = -1.72544076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11842746800952))-π/2
    2×atan(8.31804680292912)-π/2
    2×1.45115000643608-π/2
    2.90230001287217-1.57079632675     		φ = 1.33150369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72544076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.860473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33150369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.289542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14771 KachelY 10672 -1.72544076 1.33150369 -98.860473 76.289542
    Oben rechts KachelX + 1 14772 KachelY 10672 -1.72534489 1.33150369 -98.854980 76.289542
    Unten links KachelX 14771 KachelY + 1 10673 -1.72544076 1.33148096 -98.860473 76.288240
    Unten rechts KachelX + 1 14772 KachelY + 1 10673 -1.72534489 1.33148096 -98.854980 76.288240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33150369-1.33148096) × R
    2.27299999999708e-05 × 6371000     		dl = 144.812829999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33150369-1.33148096) × R
    2.27299999999708e-05 × 6371000     		dr = 144.812829999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72544076--1.72534489) × cos(1.33150369) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.237015478272542 × 6371000     		do = 144.766155429566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72544076--1.72534489) × cos(1.33148096) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.237037560539827 × 6371000     		du = 144.779643008357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33150369)-sin(1.33148096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237015478272542-0.237037560539827)×R²
    abs(-1.72534489--1.72544076)×2.20822672848675e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.20822672848675e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.20822672848675e-05×40589641000000     		ar = 20964.9732441462m²