Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14770 / 20404
↖ ↑ ↗
← S 40.346544°
W 17.731933°		 ← 931.01 m → S 40.346544°
W 17.720947°		 →
↑
930.99 m
↓
↑
930.99 m
↓
S 40.354917°
W 17.731933°		 ← 930.90 m →
866 716 m²		 S 40.354917°
W 17.720947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450759887695312 y=0.622695922851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450759887695312 × 215)
    floor (0.450759887695312 × 32768)
    floor (14770.5)     		tx = 14770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622695922851562 × 215)
    floor (0.622695922851562 × 32768)
    floor (20404.5)     		ty = 20404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14770 / 20404 ti = "15/14770/20404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14770/20404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14770 ÷ 215
    14770 ÷ 32768     		x = 0.45074462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20404 ÷ 215
    20404 ÷ 32768     		y = 0.6226806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45074462890625 × 2 - 1) × π
    -0.0985107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30948062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6226806640625 × 2 - 1) × π
    -0.245361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.770825345890503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30948062} λ = -0.30948062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.770825345890503))-π/2
    2×atan(0.462631080035959)-π/2
    2×0.433308145047967-π/2
    0.866616290095934-1.57079632675     		φ = -0.70418004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30948062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.731933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70418004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.346544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14770 KachelY 20404 -0.30948062 -0.70418004 -17.731933 -40.346544
    Oben rechts KachelX + 1 14771 KachelY 20404 -0.30928888 -0.70418004 -17.720947 -40.346544
    Unten links KachelX 14770 KachelY + 1 20405 -0.30948062 -0.70432617 -17.731933 -40.354917
    Unten rechts KachelX + 1 14771 KachelY + 1 20405 -0.30928888 -0.70432617 -17.720947 -40.354917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70418004--0.70432617) × R
    0.000146129999999967 × 6371000     		dl = 930.994229999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70418004--0.70432617) × R
    0.000146129999999967 × 6371000     		dr = 930.994229999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30948062--0.30928888) × cos(-0.70418004) × R
    0.000191739999999996 × 0.762142657492576 × 6371000     		do = 931.014828383509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30948062--0.30928888) × cos(-0.70432617) × R
    0.000191739999999996 × 0.76204804346071 × 6371000     		du = 930.89925019644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70418004)-sin(-0.70432617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762142657492576-0.76204804346071)×R²
    abs(-0.30928888--0.30948062)×9.46140318668354e-05×R²
    0.000191739999999996×9.46140318668354e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.46140318668354e-05×40589641000000     		ar = 866715.633498942m²