Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14769 / 11533
↖ ↑ ↗
← N 46.942762°
W 17.742920°		 ← 834.05 m → N 46.942762°
W 17.731933°		 →
↑
834.09 m
↓
↑
834.09 m
↓
N 46.935261°
W 17.742920°		 ← 834.16 m →
695 721 m²		 N 46.935261°
W 17.731933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450729370117188 y=0.351974487304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450729370117188 × 215)
    floor (0.450729370117188 × 32768)
    floor (14769.5)     		tx = 14769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351974487304688 × 215)
    floor (0.351974487304688 × 32768)
    floor (11533.5)     		ty = 11533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14769 / 11533 ti = "15/14769/11533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14769/11533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14769 ÷ 215
    14769 ÷ 32768     		x = 0.450714111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11533 ÷ 215
    11533 ÷ 32768     		y = 0.351959228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450714111328125 × 2 - 1) × π
    -0.09857177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30967237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351959228515625 × 2 - 1) × π
    0.29608154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.93016760022757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30967237} λ = -0.30967237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.93016760022757))-π/2
    2×atan(2.53493399753176)-π/2
    2×1.19505104258607-π/2
    2.39010208517214-1.57079632675     		φ = 0.81930576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30967237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.742920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81930576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.942762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14769 KachelY 11533 -0.30967237 0.81930576 -17.742920 46.942762
    Oben rechts KachelX + 1 14770 KachelY 11533 -0.30948062 0.81930576 -17.731933 46.942762
    Unten links KachelX 14769 KachelY + 1 11534 -0.30967237 0.81917484 -17.742920 46.935261
    Unten rechts KachelX + 1 14770 KachelY + 1 11534 -0.30948062 0.81917484 -17.731933 46.935261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81930576-0.81917484) × R
    0.000130920000000034 × 6371000     		dl = 834.091320000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81930576-0.81917484) × R
    0.000130920000000034 × 6371000     		dr = 834.091320000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30967237--0.30948062) × cos(0.81930576) × R
    0.000191749999999991 × 0.682728633522879 × 6371000     		do = 834.048095810373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30967237--0.30948062) × cos(0.81917484) × R
    0.000191749999999991 × 0.682824287253553 × 6371000     		du = 834.164950162174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81930576)-sin(0.81917484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682728633522879-0.682824287253553)×R²
    abs(-0.30948062--0.30967237)×9.56537306741057e-05×R²
    0.000191749999999991×9.56537306741057e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.56537306741057e-05×40589641000000     		ar = 695721.011772461m²