Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14769 / 10673
↖ ↑ ↗
← N 76.288240°
W 98.871460°		 ← 144.78 m → N 76.288240°
W 98.865967°		 →
↑
144.81 m
↓
↑
144.81 m
↓
N 76.286937°
W 98.871460°		 ← 144.79 m →
20 967 m²		 N 76.286937°
W 98.865967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225364685058594 y=0.162864685058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225364685058594 × 216)
    floor (0.225364685058594 × 65536)
    floor (14769.5)     		tx = 14769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162864685058594 × 216)
    floor (0.162864685058594 × 65536)
    floor (10673.5)     		ty = 10673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14769 / 10673 ti = "16/14769/10673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14769/10673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14769 ÷ 216
    14769 ÷ 65536     		x = 0.225357055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10673 ÷ 216
    10673 ÷ 65536     		y = 0.162857055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.225357055664062 × 2 - 1) × π
    -0.549285888671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.72563251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162857055664062 × 2 - 1) × π
    0.674285888671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11833159421028
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72563251} λ = -1.72563251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11833159421028))-π/2
    2×atan(8.3172493584075)-π/2
    2×1.45113864411957-π/2
    2.90227728823913-1.57079632675     		φ = 1.33148096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72563251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.871460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33148096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.288240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14769 KachelY 10673 -1.72563251 1.33148096 -98.871460 76.288240
    Oben rechts KachelX + 1 14770 KachelY 10673 -1.72553664 1.33148096 -98.865967 76.288240
    Unten links KachelX 14769 KachelY + 1 10674 -1.72563251 1.33145823 -98.871460 76.286937
    Unten rechts KachelX + 1 14770 KachelY + 1 10674 -1.72553664 1.33145823 -98.865967 76.286937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33148096-1.33145823) × R
    2.27299999999708e-05 × 6371000     		dl = 144.812829999814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33148096-1.33145823) × R
    2.27299999999708e-05 × 6371000     		dr = 144.812829999814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72563251--1.72553664) × cos(1.33148096) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.237037560539827 × 6371000     		do = 144.779643008357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72563251--1.72553664) × cos(1.33145823) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.237059642684645 × 6371000     		du = 144.793130512348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33148096)-sin(1.33145823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237037560539827-0.237059642684645)×R²
    abs(-1.72553664--1.72563251)×2.20821448187469e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.20821448187469e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.20821448187469e-05×40589641000000     		ar = 20966.9264130104m²