Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14767 / 14961
↖ ↑ ↗
← N 69.440199°
W 98.882446°		 ← 214.50 m → N 69.440199°
W 98.876953°		 →
↑
214.51 m
↓
↑
214.51 m
↓
N 69.438270°
W 98.882446°		 ← 214.52 m →
46 015 m²		 N 69.438270°
W 98.876953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225334167480469 y=0.228294372558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225334167480469 × 216)
    floor (0.225334167480469 × 65536)
    floor (14767.5)     		tx = 14767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228294372558594 × 216)
    floor (0.228294372558594 × 65536)
    floor (14961.5)     		ty = 14961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14767 / 14961 ti = "16/14767/14961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14767/14961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14767 ÷ 216
    14767 ÷ 65536     		x = 0.225326538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14961 ÷ 216
    14961 ÷ 65536     		y = 0.228286743164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.225326538085938 × 2 - 1) × π
    -0.549346923828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.72582426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228286743164062 × 2 - 1) × π
    0.543426513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70722474306868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72582426} λ = -1.72582426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70722474306868))-π/2
    2×atan(5.51363846144854)-π/2
    2×1.39137821265488-π/2
    2.78275642530976-1.57079632675     		φ = 1.21196010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72582426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.882446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21196010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.440199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14767 KachelY 14961 -1.72582426 1.21196010 -98.882446 69.440199
    Oben rechts KachelX + 1 14768 KachelY 14961 -1.72572839 1.21196010 -98.876953 69.440199
    Unten links KachelX 14767 KachelY + 1 14962 -1.72582426 1.21192643 -98.882446 69.438270
    Unten rechts KachelX + 1 14768 KachelY + 1 14962 -1.72572839 1.21192643 -98.876953 69.438270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21196010-1.21192643) × R
    3.36699999998746e-05 × 6371000     		dl = 214.511569999201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21196010-1.21192643) × R
    3.36699999998746e-05 × 6371000     		dr = 214.511569999201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72582426--1.72572839) × cos(1.21196010) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351184823320348 × 6371000     		do = 214.499395093675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72582426--1.72572839) × cos(1.21192643) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.351216348549589 × 6371000     		du = 214.518650318142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21196010)-sin(1.21192643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351184823320348-0.351216348549589)×R²
    abs(-1.72572839--1.72582426)×3.15252292406587e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.15252292406587e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.15252292406587e-05×40589641000000     		ar = 46014.6672440925m²