Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14765 / 7719
↖ ↑ ↗
← N 68.500067°
W 17.786865°		 ← 447.73 m → N 68.500067°
W 17.775879°		 →
↑
447.75 m
↓
↑
447.75 m
↓
N 68.496040°
W 17.786865°		 ← 447.81 m →
200 491 m²		 N 68.496040°
W 17.775879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450607299804688 y=0.235580444335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450607299804688 × 215)
    floor (0.450607299804688 × 32768)
    floor (14765.5)     		tx = 14765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.235580444335938 × 215)
    floor (0.235580444335938 × 32768)
    floor (7719.5)     		ty = 7719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14765 / 7719 ti = "15/14765/7719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14765/7719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14765 ÷ 215
    14765 ÷ 32768     		x = 0.450592041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7719 ÷ 215
    7719 ÷ 32768     		y = 0.235565185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450592041015625 × 2 - 1) × π
    -0.09881591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.31043936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.235565185546875 × 2 - 1) × π
    0.52886962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.66149294083115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31043936} λ = -0.31043936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66149294083115))-π/2
    2×atan(5.26716854843434)-π/2
    2×1.38317401756588-π/2
    2.76634803513176-1.57079632675     		φ = 1.19555171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31043936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.786865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19555171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.500067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14765 KachelY 7719 -0.31043936 1.19555171 -17.786865 68.500067
    Oben rechts KachelX + 1 14766 KachelY 7719 -0.31024761 1.19555171 -17.775879 68.500067
    Unten links KachelX 14765 KachelY + 1 7720 -0.31043936 1.19548143 -17.786865 68.496040
    Unten rechts KachelX + 1 14766 KachelY + 1 7720 -0.31024761 1.19548143 -17.775879 68.496040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19555171-1.19548143) × R
    7.02799999998671e-05 × 6371000     		dl = 447.753879999153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19555171-1.19548143) × R
    7.02799999998671e-05 × 6371000     		dr = 447.753879999153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31043936--0.31024761) × cos(1.19555171) × R
    0.000191749999999991 × 0.366500135917483 × 6371000     		do = 447.73095116711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31043936--0.31024761) × cos(1.19548143) × R
    0.000191749999999991 × 0.366565524789182 × 6371000     		du = 447.81083277929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19555171)-sin(1.19548143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366500135917483-0.366565524789182)×R²
    abs(-0.31024761--0.31043936)×6.53888716986017e-05×R²
    0.000191749999999991×6.53888716986017e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.53888716986017e-05×40589641000000     		ar = 200491.154314188m²