Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14761 / 6764
↖ ↑ ↗
← N 72.033289°
W 17.830810°		 ← 376.83 m → N 72.033289°
W 17.819824°		 →
↑
376.84 m
↓
↑
376.84 m
↓
N 72.029900°
W 17.830810°		 ← 376.90 m →
142 020 m²		 N 72.029900°
W 17.819824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450485229492188 y=0.206436157226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450485229492188 × 215)
    floor (0.450485229492188 × 32768)
    floor (14761.5)     		tx = 14761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206436157226562 × 215)
    floor (0.206436157226562 × 32768)
    floor (6764.5)     		ty = 6764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14761 / 6764 ti = "15/14761/6764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14761/6764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14761 ÷ 215
    14761 ÷ 32768     		x = 0.450469970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6764 ÷ 215
    6764 ÷ 32768     		y = 0.2064208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450469970703125 × 2 - 1) × π
    -0.09906005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31120635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2064208984375 × 2 - 1) × π
    0.587158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.84461189737976
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31120635} λ = -0.31120635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84461189737976))-π/2
    2×atan(6.32564431481136)-π/2
    2×1.41400719783025-π/2
    2.82801439566049-1.57079632675     		φ = 1.25721807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31120635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.830810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25721807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.033289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14761 KachelY 6764 -0.31120635 1.25721807 -17.830810 72.033289
    Oben rechts KachelX + 1 14762 KachelY 6764 -0.31101460 1.25721807 -17.819824 72.033289
    Unten links KachelX 14761 KachelY + 1 6765 -0.31120635 1.25715892 -17.830810 72.029900
    Unten rechts KachelX + 1 14762 KachelY + 1 6765 -0.31101460 1.25715892 -17.819824 72.029900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25721807-1.25715892) × R
    5.91500000000078e-05 × 6371000     		dl = 376.84465000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25721807-1.25715892) × R
    5.91500000000078e-05 × 6371000     		dr = 376.84465000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31120635--0.31101460) × cos(1.25721807) × R
    0.000191750000000046 × 0.308464370267563 × 6371000     		do = 376.832181945479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31120635--0.31101460) × cos(1.25715892) × R
    0.000191750000000046 × 0.308520635331239 × 6371000     		du = 376.900917555669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25721807)-sin(1.25715892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308464370267563-0.308520635331239)×R²
    abs(-0.31101460--0.31120635)×5.62650636757311e-05×R²
    0.000191750000000046×5.62650636757311e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.62650636757311e-05×40589641000000     		ar = 142020.143078624m²