Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14761 / 11505
↖ ↑ ↗
← N 47.152369°
W 17.830810°		 ← 830.78 m → N 47.152369°
W 17.819824°		 →
↑
830.78 m
↓
↑
830.78 m
↓
N 47.144898°
W 17.830810°		 ← 830.89 m →
690 240 m²		 N 47.144898°
W 17.819824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450485229492188 y=0.351119995117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450485229492188 × 215)
    floor (0.450485229492188 × 32768)
    floor (14761.5)     		tx = 14761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351119995117188 × 215)
    floor (0.351119995117188 × 32768)
    floor (11505.5)     		ty = 11505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14761 / 11505 ti = "15/14761/11505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14761/11505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14761 ÷ 215
    14761 ÷ 32768     		x = 0.450469970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11505 ÷ 215
    11505 ÷ 32768     		y = 0.351104736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450469970703125 × 2 - 1) × π
    -0.09906005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31120635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351104736328125 × 2 - 1) × π
    0.29779052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.935536532985016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31120635} λ = -0.31120635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.935536532985016))-π/2
    2×atan(2.54858048847471)-π/2
    2×1.19688021036616-π/2
    2.39376042073232-1.57079632675     		φ = 0.82296409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31120635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.830810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82296409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.152369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14761 KachelY 11505 -0.31120635 0.82296409 -17.830810 47.152369
    Oben rechts KachelX + 1 14762 KachelY 11505 -0.31101460 0.82296409 -17.819824 47.152369
    Unten links KachelX 14761 KachelY + 1 11506 -0.31120635 0.82283369 -17.830810 47.144898
    Unten rechts KachelX + 1 14762 KachelY + 1 11506 -0.31101460 0.82283369 -17.819824 47.144898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82296409-0.82283369) × R
    0.000130400000000086 × 6371000     		dl = 830.778400000548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82296409-0.82283369) × R
    0.000130400000000086 × 6371000     		dr = 830.778400000548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31120635--0.31101460) × cos(0.82296409) × R
    0.000191750000000046 × 0.680051031481173 × 6371000     		do = 830.777032060586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31120635--0.31101460) × cos(0.82283369) × R
    0.000191750000000046 × 0.680146630386361 × 6371000     		du = 830.893819435421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82296409)-sin(0.82283369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680051031481173-0.680146630386361)×R²
    abs(-0.31101460--0.31120635)×9.55989051882877e-05×R²
    0.000191750000000046×9.55989051882877e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.55989051882877e-05×40589641000000     		ar = 690240.12664436m²