Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14760 / 9641
↖ ↑ ↗
← N 77.569322°
W 98.920899°		 ← 131.49 m → N 77.569322°
W 98.915405°		 →
↑
131.50 m
↓
↑
131.50 m
↓
N 77.568139°
W 98.920899°		 ← 131.50 m →
17 292 m²		 N 77.568139°
W 98.915405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225227355957031 y=0.147117614746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225227355957031 × 216)
    floor (0.225227355957031 × 65536)
    floor (14760.5)     		tx = 14760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147117614746094 × 216)
    floor (0.147117614746094 × 65536)
    floor (9641.5)     		ty = 9641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14760 / 9641 ti = "16/14760/9641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14760/9641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14760 ÷ 216
    14760 ÷ 65536     		x = 0.2252197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9641 ÷ 216
    9641 ÷ 65536     		y = 0.147109985351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2252197265625 × 2 - 1) × π
    -0.549560546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.72649538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.147109985351562 × 2 - 1) × π
    0.705780029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21727335502608
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72649538} λ = -1.72649538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21727335502608))-π/2
    2×atan(9.18225993874496)-π/2
    2×1.46231819350448-π/2
    2.92463638700895-1.57079632675     		φ = 1.35384006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72649538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.920899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35384006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.569322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14760 KachelY 9641 -1.72649538 1.35384006 -98.920899 77.569322
    Oben rechts KachelX + 1 14761 KachelY 9641 -1.72639950 1.35384006 -98.915405 77.569322
    Unten links KachelX 14760 KachelY + 1 9642 -1.72649538 1.35381942 -98.920899 77.568139
    Unten rechts KachelX + 1 14761 KachelY + 1 9642 -1.72639950 1.35381942 -98.915405 77.568139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35384006-1.35381942) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dl = 131.497440000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35384006-1.35381942) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dr = 131.497440000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72649538--1.72639950) × cos(1.35384006) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.215258245323114 × 6371000     		do = 131.490817737741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72649538--1.72639950) × cos(1.35381942) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.215278401417055 × 6371000     		du = 131.503130117556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35384006)-sin(1.35381942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.215258245323114-0.215278401417055)×R²
    abs(-1.72639950--1.72649538)×2.01560939412926e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.01560939412926e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.01560939412926e-05×40589641000000     		ar = 17291.5154396916m²