Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14760 / 6762
↖ ↑ ↗
← N 72.040066°
W 17.841797°		 ← 376.69 m → N 72.040066°
W 17.830810°		 →
↑
376.72 m
↓
↑
376.72 m
↓
N 72.036678°
W 17.841797°		 ← 376.76 m →
141 920 m²		 N 72.036678°
W 17.830810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.450454711914062 y=0.206375122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.450454711914062 × 215)
    floor (0.450454711914062 × 32768)
    floor (14760.5)     		tx = 14760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206375122070312 × 215)
    floor (0.206375122070312 × 32768)
    floor (6762.5)     		ty = 6762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14760 / 6762 ti = "15/14760/6762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14760/6762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14760 ÷ 215
    14760 ÷ 32768     		x = 0.450439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6762 ÷ 215
    6762 ÷ 32768     		y = 0.20635986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450439453125 × 2 - 1) × π
    -0.09912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.31139810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20635986328125 × 2 - 1) × π
    0.5872802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84499539257672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.31139810} λ = -0.31139810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84499539257672))-π/2
    2×atan(6.32807063423495)-π/2
    2×1.41406633434554-π/2
    2.82813266869108-1.57079632675     		φ = 1.25733634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.31139810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.841797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25733634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.040066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14760 KachelY 6762 -0.31139810 1.25733634 -17.841797 72.040066
    Oben rechts KachelX + 1 14761 KachelY 6762 -0.31120635 1.25733634 -17.830810 72.040066
    Unten links KachelX 14760 KachelY + 1 6763 -0.31139810 1.25727721 -17.841797 72.036678
    Unten rechts KachelX + 1 14761 KachelY + 1 6763 -0.31120635 1.25727721 -17.830810 72.036678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25733634-1.25727721) × R
    5.91299999999073e-05 × 6371000     		dl = 376.717229999409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25733634-1.25727721) × R
    5.91299999999073e-05 × 6371000     		dr = 376.717229999409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.31139810--0.31120635) × cos(1.25733634) × R
    0.000191749999999991 × 0.308351865440886 × 6371000     		do = 376.694741633286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.31139810--0.31120635) × cos(1.25727721) × R
    0.000191749999999991 × 0.308408113637197 × 6371000     		du = 376.763456637642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25733634)-sin(1.25727721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308351865440886-0.308408113637197)×R²
    abs(-0.31120635--0.31139810)×5.6248196311337e-05×R²
    0.000191749999999991×5.6248196311337e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.6248196311337e-05×40589641000000     		ar = 141920.342727505m²